- Frontière (topologie)
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Pour les articles homonymes, voir Frontière (homonymie).En topologie, la frontière d'un ensemble est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.
Sommaire
Définition
Soit S un sous-ensemble d'un espace topologique (E,T).
Il est possible de définir la frontière de S (souvent notée ∂S ou Fr S) de plusieurs façons équivalentes :
- L'adhérence de S sans l'intérieur de S :
. - L'intersection de l'adhérence de S et de l'adhérence de son complémentaire :
. - L'ensemble de tous les points frontières de S, où un point p de E est un point frontière de S si tout voisinage de p contient au moins un point dans S et un point en dehors de S.
Dans le cas particulier d'un espace métrique (E,d), on peut définir simplement de manière équivalente la frontière comme l'ensemble points f pour lesquels toute boule de centre f et de rayon strictement positif possède une intersection non vide avec S ainsi qu'avec son complémentaire.
Propriétés
- La frontière d'un ensemble est un fermé.
Preuve : D'après la deuxième définition, la frontière d'un ensemble est l'intersection de deux ensembles fermés, donc un fermé.
- La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire.
Preuve : Toujours, d'après la deuxième définition, il suffit d'utiliser la commutativité de l'intersection et l'involutivité du complémentaire des parties de E.
- Un ensemble est un fermé si et seulement s'il contient sa propre frontière.
- Un ensemble est un ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa propre frontière.
- Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
- L'adhérence d'un ensemble est l'union de cet ensemble et de sa frontière :
.
Exemples
Sur l'ensemble des nombres réels muni de la topologie usuelle :
Les deux derniers exemples illustrent le fait que la frontière d'un ensemble dense d'intérieur vide est son adhérence.
Frontière d'une frontière
Pour tout ensemble S, ∂∂S est incluse dans ∂S, l'égalité étant vérifiée si et seulement si l'intérieur de ∂S est vide, ce qui est le cas par exemple si S est ouvert ou fermé.
La frontière d'un ensemble étant fermée, ∂∂∂S = ∂∂S pour tout ensemble S. L'opérateur frontière satisfait donc une forme faible d'idempotence.
Voir aussi
- L'adhérence de S sans l'intérieur de S :
![\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \{0,5 \}\,](9/1896c2b54ffb90cda56d2c84c042d6a7.png)
![\partial \big(\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]\big) = \left[0,1\right]](b/25b0dbecb7a861298070eb9f91086b24.png)
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