Fonction de Heaviside

Fonction de Heaviside
La fonction H0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche d'escalier ou, par erreur de traduction de l'anglais step, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction H discontinue prenant la valeur 0 pour tous les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0. \end{matrix}\right.

Sommaire

Présentation et propriétés

C'est une primitive de la distribution de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0. \end{matrix}\right.

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction Hx satisfait l'égalité Hx(0) = x pour x un réel quelconque.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Dérivée

La dérivée de la fonction de Heaviside peut être calculée formellement au sens des distributions : \ H'(x) = \delta (x) , la distribution de Dirac

Justification :

Nous partons tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

< H'(x),ϕ(x) > = − < H(x),ϕ'(x) >

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

<H'(x),\phi(x)> = -\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)\phi'(x)\mathrm{d}x\,\!

Une primitive de ϕ'(x) est ϕ(x).

Nous avons alors :

<H'(x),\phi(x)> = -\int_{0}^{+\infty}\phi'(x)\mathrm{d}x = - \lim_{x\to\infty}\phi(x) + \phi(0)

Or, \phi \in\mathcal{D}, l'espace des fonctions test sur \mathbb{R}, donc \lim_{x\to\infty}\phi(x) = 0

D'où on déduit l'expression formelle de la dérivée de l'échelon de Heaviside :

< H'(x),ϕ(x) > = ϕ(0) = < δ(x),ϕ(x) >

, par définition de l'impulsion de Dirac, δ(x).

Primitive

Une primitive de la fonction de Heaviside est donnée par x\mapsto xH(x). En effet, la dérivation de cette expression s'écrit :

\forall x \in \R,\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xH(x))=H(x)+x\delta_0

or \ x\delta_0=0.

Voir aussi

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de Heaviside de Wikipédia en français (auteurs)

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