Fonction sigma

Fonction sigma

Fonction diviseur

Cet article traite de la fonction diviseur. Pour la fonction sigma de Rado, voir Castor affairé (busy beaver).

Sommaire

Definition

En mathématiques, la fonction diviseur σa(n) est définie comme la somme des a-ièmes puissances des diviseurs positifs de n, ou

\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a.\,\!

Propriétés

Si nous écrivons la décomposition en facteurs premiers :

n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha_{i}}

alors nous avons :

\sigma_a(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(\alpha_{i}+1)a}-1}{p_{i}^a-1}.

Ainsi, la fonction diviseur est multiplicative, mais n'est pas complètement multiplicative. La relation de multiplicativité s'exprime de la façon suivante :

\sigma_a(m)\sigma_a(n)=\sum_{d\mid n} d^a\sigma_a\left(\frac{mn}{d^2}\right)

ou, de façon équivalente :

\sigma_a(mn)=\sum_{d\mid (m,n)}\mu(d)\sigma_a\left(\frac{m}{d}\right)\sigma_a\left(\frac{n}{d}\right)

où la somme du membre de droite porte sur les diviseurs positifs communs à m et n et μ est la fonction de Möbius. De façon encore équivalente, à ces règles de multiplicativité, la fonction σa est caratérisée par

  1. si m et n sont premiers entre eux alors σa(mn) = σa(m)σa(n) ;
  2. si p est premier alors σa(p) = 1 + pa
  3. si p est premier et n entier naturel alors
\frac{\sigma_a(p^n)}{p^{an/2}}=X_n\left(\frac{\sigma_a(p)}{p^{a/2}}\right)

où Xn est le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré n défini sur [-2,2] par

X_n(2\cos\theta)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}

(c'est une normalisation usuelle en théorie des nombres du polynôme de Tchebychev Un : Xn(T) = Un(T / 2)).

La série de Dirichlet associée à σa est :

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)

et on a la relation :

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.

Fonction nombre de diviseurs

La fonction σ0 est aussi appelée fonction tau τ(n). Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \# \{ d>0 : d|n \}.\!


Fonction somme de diviseurs

La fonction sigma σ1 est parfois notée σ, on a

\sigma(n)=\sum_{d|n} d.\,\!

Par exemple si p est un nombre premier,

\sigma (p)=p+1\,\!

car, par définition, les diviseurs d'un nombre premier sont 1 et lui-même.


Nous notons aussi

s(n) = \sigma(n) - n\,\!.

Cette fonction est utilisée pour reconnaître les nombres parfaits qui ont, pour n

s(n) = n\,\!.

Par exemple, pour deux nombres premiers distincts p et q, soit

n = pq\,\!

Alors

\phi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q)\,\!
\sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q)\,\!


Voir aussi

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