Fonction homographique

Fonction homographique
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir homographie.

On appelle fonction homographique toute fonction d'un corps commutatif \mathbb{K} dans lui-même définie par

f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}

où a, b, c et d sont des éléments de \mathbb{K} et a \cdot d - b \cdot c \neq 0.   Par exemple \mathbb{K} = \mathbb{R}   ou   \mathbb{K} = \mathbb{C} .

Dans le cas où a \cdot d - b \cdot c = 0, la fonction devient constante égale à f(x) = \frac{a}{c}, car
f(x) = \frac{a \cdot (x + b/a)}{c \cdot (x + d/c)} = \frac{a \cdot (x + b/a)}{c \cdot (x + b/a)} = \frac{a}{c}.

Il arrive que la condition " c non nul " soit ajoutée[réf. souhaitée] ; dans ce cas on perd la structure de groupe de l'ensemble des fonctions homographiques muni de la composition d'applications.

Cette fonction détermine une bijection de \mathbb{K} -\left \{ -\frac{d}{c} \right \} dans \mathbb{K} -\left \{ \frac{a}{c} \right \}.

Sa réciproque est

f^{-1}(x) = - \frac{dx - b}{cx - a}

Le nom provient de ce que si on rajoute à \mathbb{K} un point à l'infini \omega\, de sorte à en faire une droite projective, et si l'on prolonge f\, par f(-d/c)=\omega\,, et f(\omega)=a/c\,, on obtient une homographie de Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \hat \mathbb K\, . Et les homographies (plus celles du plan que celles de la droite il est vrai) transforment un graphique en un graphique ayant des homologies avec celui de départ...


Dans le cas réel ou complexe, Sa dérivée est

f'(x) = \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} }{(cx+d)^2}

où \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc est le déterminant de \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Dans le cas où "c est non nul", sa représentation graphique dans le cas réel est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation y = 1/x par une translation et une affinité.

Dans le plan complexe

A chaque fonction homographique complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).

On peut distinguer les cas suivants

  • si c = 0 alors F est une similitude directe
  • si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'une inversion et de similitudes

La fonction F conserve le birapport de 4 points distincts alignés.

Propriété géométriques des coniques

Une fonction homographique peut servir à tracer une conique. Pour cela il suffit de prendre deux tangentes à cette conique, sur la première tangente prendre un point X de coordonnée x, de faire une transformation homographique y=f(x) avec les paramètres (a, b c et d) judicieusement choisis et de placer sur la deuxième tangente le point Y de coordonnée y. La droite (XY) sera tangente à la conique, mais on ignore la position du point de contact sur cette droite. Exemple: Construction d'une parabole tangente par tangente. De même on peut tracer une conique point à point en faisant subir une fonction homographique aux coordonnées de deux faisceaux de droites. Exemple: Construction d'un cercle point par point.

Propriétés algébriques

Les fonctions homographiques se composent comme des matrices en coordonnées homogènes : si f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}, g(x)=\frac{a' x+b'}{c'x + d'} alors f(g(x))=\frac{a''x+b''}{c''x + d''} où \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a'' & b'' \\ c'' & d''\end{bmatrix} .

Plus précisément on a ainsi une représentation du groupe SL_2( \mathbb{K}) dans celui des fonctions homographiques (à un problème de définition près au point -d/c\,), dont le noyau est le centre de SL_2( \mathbb{K}).

Voir plus généralement la page sur les homographies.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction homographique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction Homographique — On appelle fonction homographique toute fonction d un corps commutatif dans lui même définie par où a, b, c et d sont des éléments de , c étant non nul et (a , b) étant non proportionnel à (c , d) Cette fonction détermine une bijection de …   Wikipédia en Français

  • Fonction homographique — ● Fonction homographique fonction définie de C dans par : si z ≠ ∞ et et . (On précise fonction homographique propre lorsque ad − bc ≠ 0, f étant alors bijective, ou fonction homographique impropre lorsque ad − bc = 0, f étant alors une fonction… …   Encyclopédie Universelle

  • homographique — [ ɔmɔgrafik ] adj. • 1837; de homographie ♦ Géom. Relatif à l homographie. Figures homographiques. Math. Fonction homographique : fonction définie par le quotient de deux fonctions du premier degré, et dont la courbe représentative est une… …   Encyclopédie Universelle

  • fonction — [ fɔ̃ksjɔ̃ ] n. f. • 1537; lat. functio « accomplissement », du v. fungi « s acquitter de » I ♦ Action, rôle caractéristique (d un élément, d un organe) dans un ensemble. A ♦ (Personnes) 1 ♦ Exercice d un emploi, d une charge; par ext. Ce que… …   Encyclopédie Universelle

  • Construction D'un Cercle Point Par Point — Sommaire 1 Premier exemple 1.1 Méthode des chemins de fer 1.2 Explication de cette méthode 1.3 Fonction homographique mise en jeu …   Wikipédia en Français

  • Construction d'un cercle point par point — Sommaire 1 Premier exemple 1.1 Méthode des chemins de fer 1.2 Explication de cette méthode 1.3 Fonction homographique mise en jeu …   Wikipédia en Français

  • Construction D'une Parabole Tangente Par Tangente — Sommaire 1 Exemples 1.1 Explication de cette méthode 1.2 Fonction homographique mise en jeu 1.3 Variante en géométrie projective …   Wikipédia en Français

  • Construction d'une parabole tangente par tangente — Sommaire 1 Exemples 1.1 Explication de cette méthode 1.2 Fonction homographique mise en jeu 1.3 Variante en géométrie projective …   Wikipédia en Français

  • Histoire des équations — Cet article décrit les faits marquants de l histoire des équations de l Antiquité à aujourd hui. Sommaire 1 De l Antiquité à la Renaissance 1.1 L Antiquité 1.2 Le Moyen Âge …   Wikipédia en Français

  • Traite projectif des coniques/Dans un plan pappusien — Traité projectif des coniques/Dans un plan pappusien La géométrie est l art de raisonner juste sur des figures fausses. ( auteur à retrouver ) Dans un plan arguésien on ne peut pas définir le concept de conique, seulement le concept de bi… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”