Distribution Tempérée

Distribution tempérée

Une distribution tempérée est une distribution T dont le domaine s'étend à $S$ , au sens où T peut alors être identifiée à un élément du dual topologique de S. L'ensemble des distributions tempérées se note naturellement ' S' '.

S' est alors un sous-espace vectoriel (propre) de D' (remarquer: S est plus grand que D, S' est plus petit que D') et il existe un critère simple d'appartenance à S': Si T est à support compact, elle est tempérée. Par exemple, 1 et $δ$ sont tempérées.

Les distributions tempérées ont été introduites par Laurent Schwartz, mais sous l'appellation 'distributions sphériques', ce qui explique l'emploi de la lettre S par Schwartz lui-même!

Sommaire

1 Topologie
2 Transformée de Fourier, cas général
- 2.1 Définition
- 2.2 premières propriétés
3 Cas des distributions tempérées à support compact
- 3.1 Transformée de Fourier-Laplace
4 Application aux équations différentielles
5 Références

Topologie

La topologie de S' est évidemment sa topologie faible-*. (S' est localement convexe et son dual topologique s'identifie à S)

Explicitement :

La collection de tous les ensembles de la forme $\{\Lambda \in S' :\, | \langle \Lambda , \phi_1 \rangle | < \alpha_1 , \dots, | \langle \Lambda , \phi_N \rangle | < \alpha_N \}$ ( où $\phi_1,\dots \phi_N \in S ; \, \alpha_1,\dots \alpha_N \in \mathbb{R}^{ \ast +}$ ) est une base de voisinages de 0.

Et par suite :

Si U désigne une réunion de tels ouverts, alors tout voisinage de T est de la forme T+U, et les ouverts de S' sont les ensembles T+U.

Ainsi la convergence dans S' est analogue à la convergence au sens des distributions: Dire que la suite ${T N}$ de S' tends vers T signifie que pour toute fonction $\phi\in S$ , on a $\langle T-T_N, \phi\rangle\underset{N\infty}{\longrightarrow} 0$

Transformée de Fourier, cas général

Définition

La transformée de Fourier $FT: S\rightarrow S , \, \phi \rightarrow \hat{\phi}$ est un de automorphisme $S$ . La généralisation suivante est donc consistante:

$\langle \hat{T}, \phi \rangle\!:= \langle {T}, \hat{\phi} \rangle\ \quad (\phi\in S)$

(On définit bien une distributions tempérée $\hat{T}$ et l'on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction $f\in S$ :

$\hat{f}=g \Leftrightarrow \langle \hat{T}, \phi \rangle = \int g\phi = \int \hat{f} \phi = \int f \hat{\phi}= \langle T, \hat{\phi} \rangle \quad (\forall \phi\in S )$

)

Ainsi, transformée de Fourier au sens des distributions est un automorphisme de $S'$ .

premières propriétés

$F T$ est un automorphisme de S, de période 4 (i.e 4 est le plus entier positif k tel que $\forall \phi \in S:\, FT^k (\phi)= \phi$ ) , bicontinu ( $F T - 1$ est aussi continue)

On peut montrer que la transformée de Fourier dans S' hérite de ces propriétés.

En particulier $T\in S' \rightarrow \hat{T}$ est continue- ce qui a pour conséquence:

$T_n \underset{n\infty}{\longrightarrow} T \Rightarrow \hat{T}_n \underset{n\infty}{\longrightarrow} \hat{T}$

Cas des distributions tempérées à support compact

Dans cette section, T est à support compact.

On peut montrer que $\tilde{T}(x)\!:= \langle T, e^{-\omega ixt} \rangle$ a un sens, du fait de la compacité du support de T.

de plus, $\hat{T}$ s'identifie alors à $\tilde{T}$

On peut alors poser $\hat{T} (x)\!:= \langle T, e^{-\omega ixt} \rangle \quad (x\in\mathbb{R}^n)$

Transformée de Fourier-Laplace

Donnons maintenant :

$\hat{T} (z)\!:= \langle T, e^{-\omega izt} \rangle \quad (z\in\mathbb{R}^n)$

Ce qui définit la transformée de Fourier-Laplace de T. C'est bien sûr une extension à $\mathbb{C}^n$ de Fourier.

On montre (théorème de Paley-Wiener) qu'une telle fonction $z\in \mathbb{C}^n \rightarrow \hat{T}(z)$ est entière.

Application aux équations différentielles

Références

L.Schwartz, Théorie des distributions et transformation de Fourier, 1948
W.Rudin, Functional Analysis, 1991

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Catégorie : Théorie des distributions

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