Faisceau de cercles

Définition

Étant donné un cercle (c₀) et une droite (d), il existe une infinité de cercles (c) tels que l'axe radical de chacun d'eux et du cercle (c₀) soit la droite (d). On dit que ces cercles (et le cercle c₀) forment un faisceau.

Un faisceau est déterminé par deux cercles (c₁) et (c₂) non concentriques.

Les centres des cercles (c) sont situés sur la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par le centre de (c₀). (Δ) est la droite des centres du faisceau.

Deux cercles quelconques (c₁) et (c₂) du faisceau admettent (d) comme axe radical.

Faisceau à points de base

C'est l'ensemble des cercles qui passent par deux points donnés A et B (ces deux points sont les points de base).

La droite des centres est alors la médiatrice du segment [AB].

Faisceau de cercles tangents

Un faisceau de cercles tangents est déterminé par la donnée d'une droite (d) et d'un point I de cette droite. C'est l'ensemble des cercles tangents en I à (d).

La droite des centres est alors la perpendiculaire en I à (d).

Faisceau à points limites (ou points de Poncelet)

Étant donné une droite (d) et un cercle (c) n'ayant pas de point commun, K est la projection du centre O sur (d) et T un des points de contact d'une tangente issue de K.

L'ensemble des cercles admettant (d) comme axe radical est l'ensemble des cercles dont les extrémités d'un diamètre divisent harmoniquement le segment [UV], les points U et V étant tels que : KU² = KV² = KT², puissance du point K par rapport au cercle (c).

U et V sont les intersections du cercle de centre K passant par T avec la ligne des centres (OK). On dit que ces cercles forment un faisceau déterminé par (c) et (d).

Faisceaux de cercles orthogonaux

Étant donné deux cercles (c) et (c₁) non concentriques, il existe une infinité de cercles (γ) orthogonaux à (c) et (c₁), ils sont aussi orthogonaux à tous les cercles du faisceau déterminé par (c) et (c₁).

Les cercles (γ) orthogonaux aux cercles (c) d'un faisceau F forment un faisceau Φ conjugué de F. L'axe radical d'un des faisceaux est la droite des centres de l'autre.
Si l'un des faisceaux est formé de cercles tangents, il en est de même de l'autre. Sinon si l'un des faisceaux est à points de base, l'autre est à points limites, et il y a identité entre ces couples de points.

Bibliographie

• Michèle Audin, Geometry, Universitext, Springer, ISBN 978-3540434986
• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions] (Tome 1)
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
• Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, C&M, ISBN 978-2-916352-12-1

Articles connexes et lien externe

• Cercle
• Puissance d'un point par rapport à un cercle
• Cercles orthogonaux

Voir des applications dans  : la géométrie du cercle "avec GéoPlan".

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