Puissance d'un point par rapport à un cercle

En géométrie euclidienne du plan, la puissance d'un point M par rapport à un cercle de centre O et de rayon R est un nombre qui indique la position de M par rapport à ce cercle. Elle peut être définie comme

$P(M)=OM^2-R^2\,$

Sommaire

1 Propriété fondamentale et définition
2 Axe radical de deux cercles
3 Centre radical de trois cercles
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Liens externes

Propriété fondamentale et définition

Théorème et définition — Soient M un point, Γ un cercle de centre O et de rayon R et (d) une droite passant par M et rencontrant le cercle en A et B. Alors le produit $\overline{MA} \times \overline{MB}$ des mesures algébriques de MA et MB est indépendant de la droite choisie et vaut MO² - R².

On l'appelle puissance du point M par rapport au cercle Γ et on le note $P Γ (M)$ .

On peut remarquer que :

si M est à l’extérieur du cercle, $\overline{MA} \times \overline{MB} = MA \times MB$
si M est à l’intérieur du cercle, $\overline{MA} \times \overline{MB} = - MA \times MB$ .

Lorsque le point M est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelant T le point de contact du cercle avec une de ces tangentes, la puissance de M est $P Γ (M) = M T 2$ (théorème de Pythagore).

Démonstrations

Comme les points A, B et M sont alignés, on remarque que $\overline{MA} \times \overline{MB} = \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ , où $\cdot$ désigne le produit scalaire.

On appelle H le projeté orthogonal de O sur la droite (AB). Alors $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HA}) \cdot (\overrightarrow{MH} - \overrightarrow{HA}) = MH^2 - AH^2$ , d'où en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - OH^2 - AH^2$ , puis toujours d'après le théorème de Pythagore mais dans le triangle OHA, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MO^2 - OA^2 = MO^2 - R^2$ .

Cas où M est intérieur au cercle Dans ce cas particulier, on peut aussi montrer l'indépendance du produit par rapport à la droite choisie en utilisant uniquement les propriétés des angles inscrits et des triangles semblables au lieu de recourir au produit scalaire.

Les angles $\widehat{AA_1M}$ et $\widehat{MBB_1}$ sont égaux puisqu'ils interceptent le même arc de cercle. De même les angles $\widehat{A_1AM}$ et $\widehat{MB_1B}$ sont égaux. De plus les angles $\widehat{AMA_1}$ et $\widehat{BMB_1}$ sont égaux puisqu'ils sont opposés par le sommet. Cela prouve que les triangles $A A 1 M$ et $B B 1 M$ sont semblables, d'où $\frac{MA}{MB_1} = \frac{MA_1}{MB}$ , donc $MA \times MB = MA_1 \times MB_1$ , ce qui prouve que le produit $\overline{MA} \times \overline{MB}$ est indépendant de la droite choisie.

On peut ensuite montrer que ce produit est égal à MO² - R² en utilisant le cas particulier où la droite (d) passe par O.

L'égalité MA × MB = MT² est suffisante pour affirmer que la droite (MT) est tangente au cercle.

La puissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si A, B, C, D sont quatre points tels que (AB) et (CD) se coupent en M et si $\overline{MA} \times \overline{MB} = \overline{MC} \times \overline{MD}$ , alors les quatre points sont cocycliques.

Axe radical de deux cercles

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.

On considère deux cercles c(O, R) et c'(O', R') avec O et O' distincts. L'ensemble des points M de mêmes puissances par rapport aux deux cercles vérifie :

p_c(M) = MO² - R² = p_c'(M) = MO'² - R'², soit MO² - MO'² = R² - R'².

Soit I le milieu de [OO'] et K la projection de M sur (OO'). D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle MOO', on a : $2\overrightarrow{OO'}.\overrightarrow{IK} = R^2 - R'^2$ .
Tous ces points M ont le même projeté orthogonal sur la droite (OO’), et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté K.
L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à ligne des centres passant par K.

Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur (MS = MS' dans la figure ci-contre).

En particulier si les cercles sont extérieurs et admettent une tangente commune (TT'), le milieu J de [TT'] appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical.

Centre radical de trois cercles

Les axes radicaux de trois cercles de centres non alignés concourent en un point appelé centre radical des trois cercles (voir aussi : cercle orthogonal à trois cercles).

On en déduit, par exemple, que si trois cercles sont tangents deux à deux, leurs tangentes communes sont concourantes, et leur centre radical est alors le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les trois points de tangence.

Voir aussi

Liens externes

« Avec GéoPlan » : la géométrie du cercle

« Avec Cabri » : puissance d'un point par rapport à un cercle

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Catégorie :

Cercle et sphère

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