Exposant (mathematiques)

Exposant (mathematiques)

Exposant (mathématiques)

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En mathématiques, il est souvent intéressant de multiplier un nombre a par lui-même plusieurs fois de suite. Dans une telle opération, l'exposant est le nombre de facteurs intervenant dans cette multiplication. Par commodité, on note ce produit avec a et le nombre de facteurs en exposant (typographie). Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à deux et a un nombre réel ou complexe :

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,

qui est lu « a exposant n » ou abusivement « a puissance n ».

Par convention, a1 = a (on considère que a est un produit avec un seul facteur) et, si a est différent de zéro, a0 = 1 (voir plus bas pour les raisons de ces conventions).

a^2=a\times a est appelé le carré de a, car l'aire d'un carré de côté a est a2.

a^3=a \times a \times a est appelé le cube de a, car le volume d'un cube de côté a est a3.

Cette notion, où l'exposant est entier et positif peut être étendue à des exposants entiers négatifs, fractionnaires, réels, complexes, p-adiques, etc.

Cette notion est également étendue à tous les objets mathématiques sur lesquels on peut effectuer une multiplication ou une autre opération à notation multiplicative (fonctions, matrices, etc).

Il existe des algorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voir exponentiation rapide.

La structure mathématique naturelle où apparaît la notion d'exposant est celle de groupe. L'exposant d'un groupe fini est un invariant de ce groupe.

Sommaire

Exposants entiers

a désigne un nombre réel.

Exposants entiers positifs

Avec la définition

a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,

et les propriétés élémentaires de calcul sur les nombres, on peut démontrer les propriétés essentielles suivantes :

Produit d'exposants du même nombre —  Si n et m sont deux entiers supérieurs ou égaux à deux, a^{n+m} = a^n\times a^m.

Quotient d'exposants du même nombre —  Si n et m sont deux entiers supérieurs ou égaux à deux, avec nm > 1 ; a^{n-m} = \dfrac{a^n}{a^m}.

Exposant d'exposants du même nombre —  Si n et m sont deux entiers supérieurs ou égaux à deux, \left(a^n\right)^m = a^{n\times m}.

Deux nombres élevés au même exposant —  Si n est un entier supérieur ou égal à deux, a et b deux nombres, (a\times b)^{n} = a^{n}\times b^{n}.

Exposants négatifs

Article détaillé : Suite géométrique.

La définition permet de voir que :

a^2 = a\times a ;
a^3 = a\times a\times a = a^2 \times a ;

et plus généralement, quel que soit a :

a^{n} = a^{n-1}\times a

ce qui amène, en divisant par a (lorsque ce dernier nombre est différent de zéro), à poser

a^{n-1} = \dfrac{a^n}{a}

et donc à définir :

a^{1} = \dfrac{a^2}{a} = a
a^{0} = \dfrac{a^1}{a} = 1
a^{-1} = \dfrac{a^0}{a} = \dfrac{1}{a}

et plus généralement, par récurrence :

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

Histoire

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