Équation différentielle linéaire d'ordre un

Équation différentielle linéaire d'ordre un

Les équations différentielles linéaires d'ordre un sont des équations différentielles de la forme

ay' + by = c\,

où a, b et c sont des fonctions.

Ces équations peuvent être résolues par des procédés systématiques, faisant appel au calcul de primitives. Dans certains cas particuliers, par exemple lorsque c est nul (on parle alors d'équations différentielles linéaires homogènes), on peut espérer obtenir des expressions explicites des solutions à l'aide des fonctions usuelles.

En toute rigueur, il faut utiliser la dénomination équations différentielles linéaires scalaires d'ordre un, pour signifier que la fonction inconnue y est à valeurs réelles ou complexes. L'équation différentielle matricielle AY' + BY = C, avec Y et C vecteurs colonnes et A et B matrices carrées, est en effet elle aussi une équation différentielle linéaire d'ordre 1. Cette acception plus générale est étudiée dans l'article équation différentielle linéaire.

Sommaire

Équation différentielle linéaire homogène

À coefficients constants

Ce sont les équations qui se ramènent à y' = ky où k est un réel. On rencontre ce type d'équations

  • avec k négatif dans la modélisation de la décroissance radioactive dans un milieu homogène et fermé ;
  • avec k positif lors de la modélisation de la croissance d'une population. Ce modèle possède cependant ses limites, la population ne pouvant pas, dans un milieu fermé, croître indéfiniment. On lui préfère alors le modèle de Verhulst ou le modèle de Gompertz.

Les solutions d'une telle équation sont les fonctions définies sur tout \mathbb{R} par

f(x) = Ce^{kx}~

où C est un réel dont la valeur se détermine dès que sont connues les conditions initiales : si pour x0 on a f(x0) = y0 alors C = y_0e^{-kx_0}.

Cas général

Dans le cas général, l'équation différentielle linéaire homogène s'écrit

a(x) \cdot y' + b(x) \cdot y = 0\,.

En travaillant sur un intervalle I où a(x) ne s'annule pas, cette équation est équivalente à

y' + \frac{b(x)}{a(x)} \cdot y = 0

Et, en notant A(x)\, une primitive de la fonction \frac{b(x)}{a(x)}, c'est-à-dire que A'(x) = \frac{b(x)}{a(x)}, l'équation est équivalente à

y' + \frac{b(x)}{a(x)} \cdot y =0
y' \cdot e^{A(x)} + y \cdot \frac{b(x)}{a(x)} \cdot e^{A(x)} =0
y' \cdot e^{A(x)} + y \cdot A'(x) \cdot e^{A(x)}=0

Cette forme est du type u' \cdot v + u \cdot v', qui se simplifie en (u \cdot v)' avec u(x) = y(x)\, et v(x) = e^{A(x)}\,, donc l'équation est équivalente à  :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(y \cdot e^{A(x)})=0

L'équation est équivalente à

y \cdot e^{A(x)} = C

L'ensemble des solutions est alors formé des fonctions, définies sur I, de la forme

y(x) = C \cdot e^{-A(x)}\,

où C est une constante réelle dont la valeur se détermine par la donnée des conditions initiales.

Le calcul de primitive nécessaire n'est pas toujours réalisable à l'aide des fonctions usuelles, la solution peut donc n'avoir qu'une expression sous forme d'intégrale.

Équation différentielle linéaire avec second membre

Si l'équation différentielle possède un second membre (si c est une fonction non nulle), il suffit de trouver une solution particulière f0 de l'équation pour les connaître toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions f0 + g où g est une solution générale de l'équation homogène.

Le problème est souvent de déterminer cette solution particulière.

Si c est la somme de plusieurs fonctions c1 et c2, on peut chercher une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c1, puis une solution particulière de l'équation différentielle de second membre c2, puis faire la somme de ces deux solutions particulières. On obtient alors une solution particulière de l'équation de départ.

Cas où a, b et c sont des constantes non nulles

Nous obtenons des équations du type y' = my + p. Ces équations servent à modéliser, par exemple, la charge ou la décharge d'un condensateur dans un circuit RC.

L'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur \R par

f(x) = Ce^{mx}-\frac{p}{m}

où C est un réel se déterminant par la donnée des conditions initiales, par exemple, f(x0) = y0, ce qui donne alors :

f(x) = (y_0+\frac{p}{m})e^{-mx_0}e^{mx}-\frac{p}{m}

Cas où a et b sont des constantes non nulles et c une fonction polynôme ou trigonométrique

On cherchera alors une solution particulière de la forme

  • d'un polynôme de degré n si c est un polynôme de degré n ;
  • d'une combinaison linéaire de cos(ωx + ϕ) et sin(ωx + ϕ) si c(x) = Acos(ωx + ϕ) + Bsin(ωx + ϕ).

Cas général

Article détaillé : méthode de variation des constantes.

On résout de manière générale une équation avec second membre ay' + by = c par la méthode de variation des constantes. Celle-ci consiste à se ramener, par un changement de fonction variable, à un problème de calcul de primitive.

On suppose que, sur l'intervalle d'étude, la fonction a ne s'annule pas.

On écrit la solution générale de l'équation homogène associée ay' + by = 0

y(x)= Ke^{-A(x)}, K\in {\R},

on prend pour nouvelle fonction variable la fonction k définie par la relation

y(x) = k(x)e − A(x),

ce qui explique la formulation imagée : on fait « varier la constante », en fait on la remplace par une fonction.

En reportant dans l'équation initiale, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale mais portant sur k

a(x)k'(x) = c(x)e^{A(x)}\,

En notant B une primitive de la fonction \frac{ce^A}{a}, l'ensemble des solutions est

k(x) = B(x) + C\,

La solution générale s'écrit alors sous la forme

  • f(x) = (B(x) + C) e^{-A(x)}\,

Soit finalement

  • f = \exp\left( -\int\frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx \right) \left\{ C + \int \frac{c(x)}{a(x)} \exp\left(\int \frac{b(x)}{a(x)}\mathrm dx\right)\mathrm dx \right\}

De nouveau il faut réaliser un calcul de primitive, ce qui peut empêcher de donner l'expression de la solution à l'aide des fonctions usuelles.

Voir aussi


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