Dérivée seconde

Dérivée seconde

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.

Sommaire

Fonction d'une seule variable réelle

Si la fonction admet une dérivée seconde et que cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.

Notation

Si on note ƒ(x) la fonction, alors

  • la dérivée est notée ƒ '(x) ou \frac{df}{dx}, et
  • la dérivée seconde est notée ƒ ''(x) (« f seconde de x ») ou \frac{d^2f}{dx^2}

Représentation graphique

La dérivée seconde indique la variation de la pente :

  • si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle ;
  • si elle est négative sur un intervalle, la pente diminue, la courbure est vers le bas, la fonction est dite « concave » sur cet intervalle ;
  • si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ;
  • si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.

Fonction n'admettant pas de dérivée seconde

  • Les fonctions non dérivables en un point n'y admettent pas de dérivée seconde ; a fortiori les fonctions non continues en un point ;
  • une primitive d'une fonction continue non dérivable est une fonction continue et dérivable, mais elle n'a pas de dérivée seconde aux points où la fonction initiale n'est pas dérivable ; c'est notamment le cas de la primitive de primitive d'une fonction non continue mais bornée.
    • une primitive double de la fonction signe, ∫∫sgn

\sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.

    • une primitive double d'une fonction carrée, la primitive d'une fonction triangulaire (en dents de scie) ;
    • une primitive double de la fonction partie entière ∫∫E(t)·dt;
    • une primitive double de la fonction partie décimale ∫∫(x-E(t))·dt ;

  • La primitive seconde d'une fonction en dents de scie est dérivable une fois mais pas deux

  • La primitive seconde de la fonction partie décimale est dérivable une fois mais pas deux

  • La primitive seconde de la fonction partie entière est dérivable une fois mais pas deux

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Dérivée seconde de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Derivee seconde — Dérivée seconde La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d une fonction, lorsqu elle est définie. Sommaire 1 Fonction d une seule variable réelle 1.1 Notation 1.2 Représentation graphique …   Wikipédia en Français

  • Dérivée Seconde — La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d une fonction, lorsqu elle est définie. Sommaire 1 Fonction d une seule variable réelle 1.1 Notation 1.2 Représentation graphique …   Wikipédia en Français

  • Derivee seconde discrete — Dérivée seconde discrète En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l approximation de… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée Seconde Discrète — En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l approximation de cette dérivée faite en… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée seconde discrète — En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l approximation de cette dérivée faite en… …   Wikipédia en Français

  • Le test de la dérivée seconde — Dérivée seconde La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d une fonction, lorsqu elle est définie. Sommaire 1 Fonction d une seule variable réelle 1.1 Notation 1.2 Représentation graphique …   Wikipédia en Français

  • action par dérivée seconde — poveikis pagal antrąją išvestinę statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. second derivative action; second derivative vok. Auswirkung der zweiten Ableitung, f; differenzierendes Verhalten zweiter Ordnung, n; D 2 Verhalten, n rus.… …   Automatikos terminų žodynas

  • réglage par dérivée seconde — reguliavimas pagal antrąją išvestinę statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. second derivation control vok. Regelung nach der zweiten Ableitung, f rus. регулирование по второй производной, n pranc. réglage par dérivée seconde, m …   Automatikos terminų žodynas

  • Derivee — Dérivée  Ne doit pas être confondu avec différentielle. En analyse, le nombre dérivé d une fonction en un point est, si celui ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est à dire le… …   Wikipédia en Français

  • Dérivée (mathématiques élémentaires) — Dérivée  Ne doit pas être confondu avec différentielle. En analyse, le nombre dérivé d une fonction en un point est, si celui ci existe, le coefficient directeur de la tangente au graphe de cette fonction en ce point. C est à dire le… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”