Dérivée Seconde Discrète

Dérivée seconde discrète

En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l'opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l'approximation de cette dérivée faite en prenant deux points séparés d'une distance non infinitésimale.

Définition

Soit une fonction f de la variable réelle x. On pose δx une quantité supposée « petite ». Alors la dérivée seconde discrète de f en un point x est la fonction :

$D^2 f : x \mapsto \frac{f \left( x + \delta x \right) + f \left ( x - \delta x \right) - 2 f\left( x \right)}{\delta x^2}$

Lorsque $\delta x \to 0$ , on retrouve la dérivée usuelle, définie par la valeur limite du rapport ci-dessus.

Exemple

Soit la fonction z définie par :

$z : t \mapsto \frac12 \cdot g \cdot t^2 + V_0 \cdot t + Z_0$

Cette fonction correspond à la position d'un point matériel en chute libre, lancé verticalement à une vitesse V₀ d'une hauteur Z₀.

La dérivée seconde exacte de cette fonction est :

$\ddot z \left( t \right) = g$

La dérivée seconde discrète est :

$D^2 z \left( t \right) = \frac{z \left( t + \delta t \right) + z \left ( t - \delta t \right) - 2 f\left( t \right)}{\delta t^2} = g$

Dans ce cas précis, la dérivée seconde discrète donne un résultat exact — dans la plupart des cas en revanche, et en particulier si la fonction n'est pas assez régulière, une erreur peut s'accumuler et donner des résultats aberrants.

Voir aussi

Laplacien discret.

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Catégorie : Analyse numérique

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