Dérivée Seconde

Dérivée Seconde

Dérivée seconde

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.

Sommaire

Fonction d'une seule variable réelle

Si la fonction admet une dérivée seconde et que cette dérivée seconde est continue, la fonction est dite de classe C2.

Notation

Si on note ƒ(x) la fonction, alors

  • la dérivée est notée ƒ '(x) ou \frac{df}{dx}, et
  • la dérivée seconde est notée ƒ ''(x) (« f seconde de x ») ou \frac{d^2f}{dx^2}

Représentation graphique

La dérivée seconde indique la variation de la pente :

  • si elle est positive sur un intervalle, la pente augmente, la courbure est vers le haut, la fonction est dite « convexe » sur cet intervalle ;
  • si elle est négative sur un intervalle, la pente diminue, la courbure est vers le bas, la fonction est dite « concave » sur cet intervalle ;
  • si elle est nulle, la courbe est localement rectiligne ;
  • si la dérivée seconde s'annule et change de signe, on a un point d'inflexion, la courbure de la courbe s'inverse.

Fonction n'admettant pas de dérivée seconde

  • Les fonctions non dérivables en un point n'y admettent pas de dérivée seconde ; a fortiori les fonctions non continues en un point ;
  • une primitive d'une fonction continue non dérivable est une fonction continue et dérivable, mais elle n'a pas de dérivée seconde aux points où la fonction initiale n'est pas dérivable ; c'est notamment le cas de la primitive de primitive d'une fonction non continue mais bornée.
    • une primitive double de la fonction signe, ∫∫sgn
      \sgn(x)=\left\{\begin{matrix} -1 & : x < 0 \\ \;0 & : x = 0 \\ \;1 & : x > 0 \end{matrix}\right.
    • une primitive double d'une fonction carrée, la primitive d'une fonction triangulaire (en dents de scie) ;
    • une primitive double de la fonction partie entière ∫∫E(t)·dt;
    • une primitive double de la fonction partie décimale ∫∫(x-E(t))·dt ;

La primitive seconde d'une fonction en dents de scie est dérivable une fois mais pas deux

La primitive seconde de la fonction partie décimale est dérivable une fois mais pas deux

La primitive seconde de la partie entière est dérivable une fois mais pas deux

Voir aussi

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