- Découplage (automatique)
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En automatique, dans la perspective de règler un système dont l'état est caractérisé par plusieurs variables, le but du découplage est de transformer la fonction de transfert ou la représentation d'état afin de pouvoir commander chaque sortie indépendamment des autres.
Problèmatique
Soit le système multivariables linéaire caractérisé par les relations temporelles suivantes :
où le vecteur d’état x est de dimension m et où les vecteurs d’entrée u et de sortie y sont tous deux de dimension n. Les tailles respectives des matrices (à coefficients constants) correspondent naturellement à celles des vecteurs.
Le découplage consiste à trouver un correcteur pour l’asservissement tel que, commandé en mode de rétroaction, il permette d’affecter une valeur de consigne propre à chaque sortie.
Approche par la matrice de transfert
En boucle ouverte, la fonction de transfert est la matrice carrée
de taille n telle que, dans l’espace de Laplace, l’équation du système s’écrive :
Appelée matrice de transfert, elle est définie par la relation
Après avoir inséré un bloc correcteur en amont de l’entrée, soit un processus à déterminer dont la fonction de transfert est une matricede taille n, le contrôle en boucle fermée conduit à la relation
où
est la matrice de transfert en boucle fermée et où
désigne la consigne.
Le découplage est l’opération consistant à trouverde sorte que la forme de
soit diagonale.
Soit
une matrice diagonale dont les termes sont les
,
.
Ainsi, le correcteur
devrait vérifier
soit
Approche par la représentation d'état
Notons
le vecteur de dimension m dont les composantes correspondent aux éléments de la k ème ligne de
La relation liant
à
s’écrit alors
Considérons la composante:
implique
Sialors
ce qui implique
Sialors
le processus peut se poursuivre.
Dans ce même esprit, soit jk le plus petit entier positif ou nul tel queAlors
Ces égalités permettent de définirsatisfaisant la relation
qui s’écrit sous la forme synthétique suivante :
étant une matrice carrée de taille n.
Si
est inversible, alors
et le découplage est possible.
Dans ce cas, le système découplé se réduit à des sous-systèmes qui, dans l’espace de Laplace, s’expriment par :
chacun d’eux correspondant à un processus d’intégrations successives.
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