- Droite de Simson
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Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés.
Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
- M est sur le cercle circonscrit au triangle ;
- U, V et W sont alignés.
Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace) associée au point M.
En particulier :
- la droite de Simson associée à un sommet est la hauteur issue de ce sommet ;
- la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.
Sommaire
Diverses propriétés
Démonstration de l'existence de la droite de SimpsonOn se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration.
et 
sont supplémentairesPour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U,W et V sont alignés. Cela revient à montrer que les angles
et 
sont supplémentaires, c'est-à-dire que 
. Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante :(i)
Or
et 
sont droits, donc M, V, U, et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible.On en déduit que
soit encore :(ii)
et 
sont égauxDe même
et 
sont droits, donc M, V, A, et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible.On en déduit que :
(iii)
En remplacant dans (i)
et par leur valeur donnée dans (ii) et (iii) on obtient :(iv)
Or, par hypothèse A,B,C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc :
(v)
En reportant (v) dans (iv) on obtient :
CQFD.
Si H est l'orthocentre du triangle ABC, alors la droite MH et la droite de Simson associée à M se coupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC.Si M et M' sont deux points du cercle circonscrit, alors l'angle entre les droites de Simson de ces deux points est la moitié de l'arc MM'. En particulier, si M et M' sont diamétralement opposés sur le cercle leur droites de Simson sont perpendiculaires et en outre leur point d'intersection se trouve sur le cercle d'Euler du triangle.
Deux triangles étant donnés, inscrits dans le même cercle, les deux droites de Simson d'un point M par rapport aux deux triangles font entre elles un angle constant, qui ne dépend pas du choix du point M.
Enveloppe des droites de Simson
Théorème de Steiner (1856) : « L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde. »
Les droites de Simson (en rouge) sont tangentes à une deltoïde (en bleu).L'article consacré à la « deltoïde de Steiner » présente ses propriétés.
Voir aussi
Articles connexes
Liens et documents externes
- Enveloppe de la droite de Simson sur le site abracadabri (associé à Cabri Géomètre)
- (en) Simson's line theorem et Angle between two Simson lines theorem par Antonio Gutierrez, sur le site Geometry Step by Step from the Land of the Incas
- (en) Simson line sur cut-the-knot
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
Catégories :- Ligne droite
- Géométrie du triangle
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