Droite de simson

Droite de simson

Droite de Simson

Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés.

Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson associée au point M.

Cette droite est aussi qualifiée de droite de Wallace du point M.

En particulier, la droite de Simson de chacun des sommets est la hauteur issue du sommet. De plus, la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.

Sommaire

Diverses propriétés

Si H est l'orthocentre du triangle ABC, alors la droite MH et la droite de Simson associée à M se coupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC.

Si M et M' sont deux points du cercle circonscrit, alors l'angle entre les droites de Simson de ces deux points est la moitié de l'arc MM'. En particulier, si M et M' sont diamétralement opposés sur le cercle leur droites de Simson sont perpendiculaires et en outre leur point d'intersection se trouve sur le cercle d'Euler du triangle.

Deux triangles étant donnés, inscrits dans le même cercle, les deux droites de Simson d'un point M par rapport aux deux triangles font entre elles un angle constant, qui ne dépend pas du choix du point M.

Enveloppe des droites de Simson

Théorème de Steiner (1856) : « L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde. »

Les droites de Simson (en rouge) sont tangentes à une deltoïde (en bleue).

L'article consacré à la « deltoïde de Steiner » présente ses propriétés.


Voir aussi

Articles connexes

Liens et documents externes

  • Pour une illustration de divers propriétés sur l'enveloppe des droites de Simson, voir de la droite de Simson sur le site [1]

Notes


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