Droite de simson

Droite de simson

Droite de Simson

Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés.

Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson associée au point M.

Cette droite est aussi qualifiée de droite de Wallace du point M.

En particulier, la droite de Simson de chacun des sommets est la hauteur issue du sommet. De plus, la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.

Sommaire

Diverses propriétés

Si H est l'orthocentre du triangle ABC, alors la droite MH et la droite de Simson associée à M se coupent sur le cercle d'Euler du triangle ABC.

Si M et M' sont deux points du cercle circonscrit, alors l'angle entre les droites de Simson de ces deux points est la moitié de l'arc MM'. En particulier, si M et M' sont diamétralement opposés sur le cercle leur droites de Simson sont perpendiculaires et en outre leur point d'intersection se trouve sur le cercle d'Euler du triangle.

Deux triangles étant donnés, inscrits dans le même cercle, les deux droites de Simson d'un point M par rapport aux deux triangles font entre elles un angle constant, qui ne dépend pas du choix du point M.

Enveloppe des droites de Simson

Théorème de Steiner (1856) : « L'enveloppe des droites de Simson d'un triangle est une deltoïde. »

Les droites de Simson (en rouge) sont tangentes à une deltoïde (en bleue).

L'article consacré à la « deltoïde de Steiner » présente ses propriétés.


Voir aussi

Articles connexes

Liens et documents externes

  • Pour une illustration de divers propriétés sur l'enveloppe des droites de Simson, voir de la droite de Simson sur le site [1]

Notes


  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Droite de Simson ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Droite de simson de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Droite De Simson — Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M …   Wikipédia en Français

  • Droite de Simson — Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M …   Wikipédia en Français

  • Droite de Wallace (géométrie) — Droite de Simson Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés …   Wikipédia en Français

  • Droite De Steiner — Pour les articles homonymes, voir Steiner. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les symétriques orthogonaux de M par rapport aux droites (BC), (AC) et …   Wikipédia en Français

  • Droite de steiner — Pour les articles homonymes, voir Steiner. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les symétriques orthogonaux de M par rapport aux droites (BC), (AC) et …   Wikipédia en Français

  • Simson —  Cette page d’homonymie répertorie des personnes (réelles ou fictives) partageant un même patronyme. Pour les articles homonymes, voir Simpson. Le nom de Simson a été porté par plusieurs personnalités (par ordre alphabétique) : Anna… …   Wikipédia en Français

  • Droite de Steiner — Pour les articles homonymes, voir Steiner. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les symétriques orthogonaux de M par rapport aux droites (BC), (AC) et (AB). Alors M est sur le cercle circonscrit au …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Simson — Droite de Simson Le point M du cercle circonscrit au triangle (ABC) se projette perpendiculairement sur les trois côtés (prolongés au besoin) en trois points U, V, W alignés. Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés …   Wikipédia en Français

  • Robert Simson — Pour les articles homonymes, voir Simson.  Ne pas confondre avec les mathématiciens Edward Simpson et Thomas Simpson. Robert Simson (14 octobre 1687 – 1er octobre 1768) est un mathématicien écossais célèbre pour ses contributions en …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”