Droite d'Euler

Droite d'Euler
Article principal : Cercle d'Euler.
Droite d'Euler
En rouge : La droite d'Euler
En bleu : Hauteurs
En orange : Médianes
En vert : Médiatrices

En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité ou isobarycentre et le centre du cercle d'Euler de ce triangle.

Le centre du cercle d'Euler est situé au milieu du segment formé par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit. D'autre part, la distance entre le centre de gravité et l'orthocentre est le double de celle entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit (voir : relation d'Euler).

C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui démontra le premier que tous ces points étaient alignés. De plus, on sait grâce à cette propriété que :
ΩH = 3ΩG.


Distance [ ΩGH ] = \sqrt[2]{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}.


Démonstration

Soit M le point défini par \overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}

La relation de Chasles donne \overrightarrow {\Omega M} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {\Omega I_1} + \overrightarrow {I_1 C}

Or I1 est le milieu de [BC] donc \overrightarrow {I_1 B} + \overrightarrow {I_1 C} = \vec {0}

D'où \overrightarrow {\Omega M} - \overrightarrow {\Omega A} = 2\overrightarrow {\Omega I_1}, ce qui donne \overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {\Omega I_1}

Par définition de Ω, la droite (ΩI1) est la médiatrice du segment [BC], donc lui est perpendiculaire. La relation vectorielle établie juste au-dessus montre alors que la droite (AM) est aussi perpendiculaire à [BC], donc (AM) est une hauteur du triangle ABC.

De même, on montre que (BM) et (CM) sont des hauteurs de ABC, donc M appartient aux trois hauteurs de ce triangle et en est donc l'orthocentre H.

On a donc \overrightarrow {\Omega H} = \overrightarrow {\Omega A} + \overrightarrow {\Omega B} + \overrightarrow {\Omega C}

Par la relation de Chasles, on a \overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}

Or \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec {0} (car G est le centre de gravité du triangle ABC)

Donc on obtient finalement \overrightarrow {\Omega H} = 3\overrightarrow {\Omega G}, ce qui montre que les points Ω, G et H sont alignés dans cet ordre. La relation d'Euler en découle directement.

 


Cercle et droite d'Euler d'un triangle



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