Distribution tempérée

Une distribution tempérée est une distribution $T$ dont le domaine s'étend à l'espace de Schwartz $\mathcal{S}$ , au sens où $T$ peut alors être identifiée à un élément du dual topologique (continu) de $\mathcal{S}$ .

L'ensemble des distributions tempérées se note naturellement $\mathcal{S}'$ , et est un sous-espace vectoriel (propre) de l'ensemble des distributions $\mathcal{D}'$ . À noter que $\mathcal{S}$ est plus grand que $\mathcal{D}$ et que $\mathcal{S}'$ est plus petit que $\mathcal{D}'$ , aussi retrouve-t-on l'idée topologique que :

$\mathcal{D} \subset \mathcal{S} \quad \Rightarrow \quad \mathcal{S}' \subset \mathcal{D}'$

Par exemple, les distributions définies par 1 et $δ$ sont tempérées, ainsi que toutes les distributions à support compact.

Les distributions tempérées ont été introduites par Laurent Schwartz, mais sous l'appellation distributions sphériques, ce qui explique l'emploi de la lettre 'S' par Schwartz lui-même !

Sommaire

1 Définition
2 Topologie
3 Exemples de distributions tempérées
4 Transformée de Fourier des distributions tempérées
5 Cas des distributions tempérées à support compact
- 5.1 Transformée de Fourier-Laplace
6 Application aux équations différentielles
7 Références

Définition

Une distribution tempérée sur $\mathbb{R}^N$ est une forme linéaire continue sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ . La continuité d'une forme linéaire $T$ sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ peut s'exprimer dans les deux sens équivalents suivants.

Soit par la caractérisation des suites convergentes :

Pour toute suite $(\phi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergeante vers $ϕ$ dans $\mathcal{S}(\mathbb{R}^N)$ , alors

$\lim_{n \to \infty} \langle T, \phi_n \rangle = \langle T, \phi \rangle$

Soit par l'utilisation de la famille de semi-normes $(\mathcal{N}_p)_{p \in \mathbb{N}}$ définissant $\mathcal{S}$ :

Il existe un entier $p \in \mathbb{N}$ et une constante $C \in \mathbb{R}_+^*$ tels que

$\forall \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^N), \quad |\langle T, \phi \rangle | \leq C\mathcal{N}_p (\phi)$

(à noter que, par densité de $\mathcal{D})$ dans $\mathcal{S}$ , il suffit que l'inégalité soit vérifiée pour tout $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^N)$ )

Les distributions tempérées admettent une caractérisation, démontrée par Schwartz, mais pas forcément utile en pratique.

Caractérisation des distributions tempérées — Les distributions tempérées de $\mathbb{R}^N$ sont exactement les distributions $T$ de la forme:

$T = \partial^{\alpha}_x \left( (1 + |x|^2)^n f \right)$

où $\alpha \in \mathbb{N}^N$ est un multiindice, $n \in \mathbb{N}$ est un entier naturel, et $f \in C_b(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$ est une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}^N$ , et où la dérivation s'entend au sens des distributions.

Topologie

La topologie de $\mathcal{S}'$ est évidemment sa topologie faible-* ( $\mathcal{S}'$ est localement convexe et son dual topologique s'identifie à $\mathcal{S}$ ).

Explicitement :

La collection de tous les ensembles de la forme $\{\Lambda \in \mathcal{S}' :\, | \langle \Lambda , \phi_1 \rangle | < \alpha_1 , \dots, | \langle \Lambda , \phi_N \rangle | < \alpha_N \}$ ( où $\phi_1,\dots \phi_N \in \mathcal{S} ; \, \alpha_1,\dots \alpha_N \in \mathbb{R}^{ \ast +}$ ) est une base de voisinages de 0.

Et par suite :

Si U désigne une réunion de tels ouverts, alors tout voisinage de T est de la forme T+U, et les ouverts de $\mathcal{S}'$ sont les ensembles T+U.

Ainsi la convergence dans $\mathcal{S}'$ est analogue à la convergence au sens des distributions : dire que la suite ${T N}$ de $\mathcal{S}'$ tend vers T signifie que, pour toute fonction $\phi\in \mathcal{S}$ , on a $\langle T-T_N, \phi\rangle\underset{N\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$

Exemples de distributions tempérées

Distributions tempérées régulières

Dans le cas des distributions, nous avions vu que certaines fonctions $f$ , les fonctions localement intégrables, s'identifiaient avec les distribution régulières $T f$ qu'elles représentent, définies via l'injection linéaire $T$ :

$\langle T_f, \phi \rangle := \int_{\mathbb{R}^N} f(x) \phi(x)\,\mathrm{d}x$ pour toute fonction $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^N)$ .

Il se peut que cette distribution $T f$ soit à caractère tempérée. Dans ce cas, nous dirons que $f$ définit une distribution témpérée, et que $T f$ est une distribution tempérée régulière, dont voici quelques exemples :

Toute fonction appartenent à un espace de Lebesgue $L^p (\mathbb{R}^N)$ , avec $1 \leq p \leq \infty$ , définit une distribution tempérée.
Toute fonction continue à croissance polynômiale (i.e. en $O ( | x | p)$ , pour un certain $p \in \mathbb{N}$ , au voisinage de l'infini) définit une istribution tempérée.
Toute fonction périodique localement intégrable définit une distribution tempérée.

Distributions tempérées à support dans $\mathbb{Z}$

Une suite $a := (a_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ à valeurs dans $\mathbb{C}^N$ s'identifier à une fonction $\mathbb{Z} \to \mathbb{C}^N$ , et peut s'idientifier à la distribution sur $\mathbb{R}$ suivante :

$T_a := \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k \delta_k$

La distribution $T a$ définit une distribution tempérée si la suite $a := (a_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ est à croissance polynômiale, c'est-à-dire s'il existe un entier naturel $p$ tel que $a k = O ( | k | p)$ lorsque $|k| \rightarrow \infty$ .

Démonstration

La croissance polynômiale de la suite $a$ implique l'existence d'un entier $p \in \mathbb{N}$ et d'une constante $C \geq 0$ tels que pour tout $k \in \mathbb{Z}$ , $|a_k| \leq C(1 + |k|^p)$ . Alors, pour toute fonction test $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ ,

$\begin{array}{rcl} |\langle T_a, \phi \rangle| & \leq & \sum_{k \in \mathbb{Z}} |a_k|.|\phi(k)| \\ & \leq & C \sum_{k \in \mathbb{Z}} (1 + |k|^p). |\phi(k)| \\ & \leq & C \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{1}{1 + k^2} (1 + k^2 + |k|^p + |k|^{p+2}). |\phi(k)| \\ |\langle T_a, \phi \rangle| & \leq & C' \mathcal{N}_{p+2} (\phi) \end{array}$

où l'on a posé

$C^' = C \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{1}{1 + k^2}$

Distributions périodiques

Une distribution périodique de période $a \in \mathbb{R}^N$ est une distribution $T$ sur $\mathbb{R}^N$ vérifiant

$T \circ \tau_a = T$

où $\tau_a : x \mapsto x + a$ désigne la translation de $a$ . Bien entendu, toutes les fonctions localement intégrables et périodiques définissent une distribution périodique.

Distributions périodiques et distributions tempérées — Toute distribution périodique sur $\mathbb{R}^N$ est une distribution tempérée sur $\mathbb{R}^N$ .

La démonstration peut se trouver dans les références.

Ce résultat fort heureux nous permettra d'avoir une notion de transformation de Fourier en particulier bien définie sur les distributions périodiques.

Transformée de Fourier des distributions tempérées

Définition

La stratégie consiste à étendre la transformée de Fourier $\mathcal{F}$ à $\mathcal{S}'$ par son action sur les fonctions de son prédual $\mathcal{S}$ , espace sur lequel $\mathcal{F}$ réalise un automorphisme.

La transformée de Fourier est l'opérateur $\mathcal{F}$ qui, à toute distribution tempérée $T$ , associe la distribution tempérée $\mathcal{F}T$ définie par son crochet de dualité

$\forall \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n),\quad \langle \mathcal{F}T, \phi \rangle = \langle T, \mathcal{F} \phi \rangle$

Note : on définit bien une distribution tempérée $\hat{T}$ et l'on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction. En effet, pour toute paire $ϕ$ , $φ$ de fonctions de $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ,

$\langle \mathcal{F}T_\phi, \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) \mathcal{F}\varphi(x) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} \varphi(y) \mathcal{F}\phi(y) \mathrm{d}y = \langle T_{\hat{\phi}}, \varphi \rangle$

(l'égalité intermédiaire est une conséquence du fait que $\mathcal{F}$ est un endomorphisme autoadjoint de l'espace de Hilbert $(L^2, \langle.,.\rangle)$ , dans lequel $\mathcal{S}$ est inclus)

Inversion de Fourier

Le plus gros avantage à définir transformation de Fourier dans l'espace des distributions est qu'elle est toujours inversible.

Formule d'inversion de Fourier sur $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ — La transformée de Fourier est un automorphisme bicontinu du $\mathbb{C}$ -espace vectoriel $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ des distributions tempérées, dont l'inverse est donné par la formule

$\mathcal{F}^{-1} T = \tilde{\mathcal{F} T}$

où l'opérateur antipodie $\tilde{ }$ est défini pour toute distribution S sur $\mathbb{R}^N$ par

$\tilde{S} = S \circ (- Id_{\mathbb{R}^N}) \quad \Leftrightarrow \quad \forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^N), \quad \langle \tilde{S}, \phi \rangle = \langle S, \phi \circ (- Id_{\mathbb{R}^N}) \rangle$

Remarque : cette formule dépend de la convention choisir pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise $e^{-i 2 \pi \xi \cdot x}$ .

Démonstration

Il suffit de vérifier que $\mathcal{F}(\mathcal{F} T) = \tilde{T}$ pour une distribution tempérée T. Soit $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Alors $\langle \mathcal{F}(\mathcal{F} T), \phi \rangle = \langle \mathcal{F} T, \mathcal{F} \phi \rangle = \langle T, \mathcal{F}(\mathcal{F} \phi) \rangle$ Or l'inversion sur l'espace de Schwartz donne $\mathcal{F}(\mathcal{F} \phi) = \phi \circ (- Id_{\mathbb{R}^N})$ , propriété qui se transpose donc pour T.

Premières propriétés

La transformée de Fourier dans $\mathcal{S}'$ hérite de ses propriétés dans $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{F}$ est un automorphisme de $\mathcal{S}$ , de période 4 (i.e 4 est le plus petit entier positif k tel que $\forall \phi \in \mathcal{S}:\, \mathcal{F}^k (\phi)= \phi$ ) , bicontinu ( $\mathcal{F}^{-1}$ est aussi continue).
En particulier $\mathcal{F}$ hérite de la continuité séquentielle. Pour toute suite $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de distributions tempérées,

$T_n \underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} T \Rightarrow \hat{T}_n \underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} \hat{T}$

Exemples de transformées de Fourier de distributions

Prendre garde au choix de la normalisation de la transformée de Fourier définie sur les fonctions. Est ici retenue l'expression "fréquentielle", impliquant $e^{-i 2 \pi \xi \cdot x}$ .

Opérations usuelles

Soit T une distribution tempérée sur $\mathbb{R}^N$ . Les opérations alors utilisées dans les cas des fonctions sont maintenant valides sans hypothèse supplémentaire.

dérivation : pour tout $k = 1, \ldots, N \qquad$ , $\mathcal{F}(\partial_{x_k}T) = 2 \pi i \xi_k T$
multiplication par un polynôme : pour tout $k = 1, \ldots, N \quad$ , $\mathcal{F}(x_k T) = 1/(i 2 \pi) \partial_{x_k} \mathcal{F}T$
translation : pour tout $a \in \mathbb{R}$ , $\mathcal{F}(T \circ \tau_a) = e_{2 \pi a} \mathcal{F}T$
modulation : pour tout $a \in \mathbb{R}$ , $\mathcal{F}(e_{-2\pi a} T) = (\mathcal{F}T) \circ \tau_a$

Transformées usuelles

transformées des sinusoïdes $e_{\omega} : \xi \mapsto e^{i \omega \cdot \xi}$ :

$\mathcal{F} e_{\omega} = \delta_{\omega / 2\pi}$

transformées des masses de Dirac. Pour tout $a \in \mathbb{R}^N$ et tout multi-indice $\alpha \in \mathbb{N}^N$ :

$\begin{align} \mathcal{F} \delta_0 & = 1 \\ \mathcal{F} (\partial_\alpha \delta_0) & = \xi \mapsto (- i 2 \pi \xi)^\alpha \\ \mathcal{F} \delta_a & = \xi \mapsto e^{-2 \pi a \cdot \xi} \\ \mathcal{F} (\partial_\alpha \delta_a) & = \xi \mapsto (- i 2 \pi \xi)^\alpha e^{-2 \pi a \cdot \xi} \\ \end{align}$

transformées des polynômes : pour tout multi-indice $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots) \in \mathbb{N}^N$ ,

$\mathcal{F} (\xi_1^{\alpha_1} \xi_2^{\alpha_2} \ldots \xi_N^{\alpha_N}) = \frac{1}{(i 2 \pi)^{|\alpha|}} \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_N^{\alpha_N} \delta_0$

Distributions périodiques

La transformée de Fourier d'une distribution U T-périodique sur $\mathbb{R}$ est la distribution en somme de diracs

$\mathcal{F}U = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \delta_{k/T}$

c'est-à-dire un signal, échantillonné à la fréquence $\frac{1}{T}$ , dont les échantillons $(c_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ sont données par

$c_k = \mathcal{F}(\phi U)(k/T)$

pour toute fonction test $\phi \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ vérifiant $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \phi(\cdot + k) \equiv 1$ .

Cas des distributions tempérées à support compact

Dans cette section, T est supposé être à support compact.

On peut montrer que $\tilde{T}(x)\!:= \langle T, e^{-\omega ixt} \rangle$ a un sens, du fait de la compacité du support de T.

De plus, $\hat{T}$ s'identifie alors à $\tilde{T}$ .

On peut alors poser $\hat{T} (x)\!:= \langle T, e^{-\omega ixt} \rangle \quad (x\in\mathbb{R}^n).$

Transformée de Fourier-Laplace

Donnons maintenant la définition de la transformée de Fourier-Laplace de T :

$\hat{T} (z)\!:= \langle T, e^{-\omega izt} \rangle \quad (z\in\mathbb{R}^n).$

C'est bien sûr une extension de Fourier à $\mathbb{C}^n$ .

On montre (théorème de Paley-Wiener) qu'une telle fonction $z\in \mathbb{C}^n \rightarrow \hat{T}(z)$ est entière.

Ainsi, la transformée de Fourier d'une distribution compacte est une fonction entière.

Cette remarque est cohérente avec la propriété d'échange entre décroissance à l'infini et régularité. Comme la compacité du support est la plus grande vitesse de décroissance à l'infini, il est prévisible que cette propriété s'échange avec celle de régularité extrême, c'est-à-dire la propriété d'être une fonction entière.

Application aux équations différentielles

Références

L. Schwartz, Théorie des distributions et transformation de Fourier, 1948
W. Rudin, Functional Analysis, 1991
F. Golse, Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles, Éditions de l'École polytechnique, 2009, polycopié de cours.

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