Distance d'un point à un plan dans l'espace cartésien

Distance d'un point à un plan

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit le plan $P$ et le point $A$ dans l'espace. On appelle $(x A, y A, z A)$ les coordonnées du point $A$ et $a x + b y + c z + d = 0$ l'équation représentative du plan $P$ : alors la distance du point $A$ au plan $P$ , $d A, P$ vaut :

$d_{A,P} =\frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Démonstration :

Soit $H : = (x, y, z)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $P$ et soit $\vec n:=(a, b,c)$ un vecteur normal à $P$ .

On sait que les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\vec n$ sont colinéaires, on peut donc écrire :

$\overrightarrow{AH}=\lambda.\vec n$

Soit encore

(x - x A; y - y A; z - z A) = λ(a; b; c)

et $H \in P$ donc

a x + b y + c z + d = 0

Ceci revient à résoudre le système suivant:

$\begin{Bmatrix} x=\lambda a+x_A \\ y=\lambda b+y_A \\ z=\lambda c+z_A \\ ax+by+cz+d=0 \end{Bmatrix}$

La substitution de x, y et z dans la 4^e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire:

a (λ a + x A) + b (λ b + y A) + c (λ c + z A) + d = 0

Ou encore:

a x A + b y A + c z A + d + λ(a 2 + b 2 + c 2) = 0

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls: on a

$\lambda = - \frac {ax_A+by_A+cz_A+d}{a^2+b^2+c^2}$

Or, la distance de $A$ à $P$ , n'est autre que la longueur du vecteur $\overrightarrow{AH}$ ; donc:

$d_{A,P} =AH=\left| \lambda \right| \begin{Vmatrix} \vec n \end{Vmatrix}$

$d_{A,P} = \left| \frac {-(ax_A+by_A+cz_A+d)}{a^2+b^2+c^2} \right| \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

$d_{A,P} =\frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Ceci termine la preuve.

Voir aussi

La notion de distance en mathématiques
Propriétés métriques des droites et plans
la projection orthogonale
Distance d'un point à une droite

Portail de la géométrie

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Catégorie : Distance et longueur

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