- Diffusion de la chaleur
-
Conduction thermique
La conduction thermique (ou diffusion thermique) est un mode de phénomène de transfert thermique provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière[1] (à l'échelle macroscopique) par opposition à la convection qui est un autre transfert thermique. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'agitation thermique : un atome (ou une molécule) cède une partie de son énergie cinétique à l'atome voisin.
La conduction thermique est un phénomène de transport de l'énergie interne dû à une inhomogénéité de l'agitation moléculaire[2]. C'est donc un phénomène irréversible. Dans les fluides (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte de la non uniformité du nombre de chocs par unité de volume, de façon analogue au phénomène de diffusion[2]. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les électrons de conduction et les vibrations du réseau cristallin (phonons)[3].
Sommaire
Généralités
Loi de Fourier
La conduction thermique est un transfert thermique spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse, et obéit à la loi dite de Fourier établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822[4] : la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température.
La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en J.m-1.K-1.s-1 ou, soit des W.m-1.K-1.
La loi de Fourier est une loi semi-empirique analogue à la loi de Fick pour la diffusion de particule ou la loi d'Ohm pour la conduction électrique. Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre intensif (température, nombre de particules par unité de volume, potentiel électrique) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).
ComplémentNous pouvons exprimer le transfert thermique selon Ox pendant un temps dt. On suppose que la quantité de chaleur traversant une surface d'aire dSx est proportionnelle à dSx, au temps de transfert dt et au taux de variation de la température T :
Le flux thermique à travers la surface élémentaire dSx est alors :
Nous pouvons en déduire la densité de flux dans la direction Ox :
Le même raisonnement dans chacune des directions de l'espace donne la loi de Fourier.
Pour les définitions précises de flux et densité de flux voir l'article transfert thermiqueÉquation de la chaleur
Article détaillé : Équation de la chaleur.Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène :
où :
- ΔT désigne le laplacien de la température,
- P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents ...,
- ρ est la masse volumique du matériau en kg.m-3,
- et c est la chaleur spécifique massique du matériau en J.kg-1.K-1.
(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)
Sous forme unidimensionnelle et dans le cas où P est nulle, on obtient :
En régime stationnaire, lorsque la température n'évolue plus avec le temps et si P est nul, elle se réduit à :
ΔT = 0 qui est une équation de Laplace. T est alors une fonction harmonique.
Dans le cas unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à :
dont la solution est :
T = Ax + B, où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.
Conduction en régime stationnaire
On définit un régime permanent (ou stationnaire) quand les températures ne dépendent pas du temps. La température ne dépend plus que de la disposition du point où l'on effectue la mesure et plus du temps. Pour toute la suite de ce chapitre, nous supposerons un régime permanent établi.
Surface plane simple
Le matériau est un milieu thermiquement conducteur limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan a une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.
Notons T1 la température du plan situé à l'abscisse x1, et T2 la température du plan situé à l'abscisse x2. Notons e = x2 − x1 l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, T est une fonction affine de x, d'où :
La densité de flux thermique surfacique s'écrit :
- .
Le flux thermique à travers une surface S vaut :ou
Analogie électrique
Par analogie avec l'électricité (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :
Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :
On peut définir alors une résistance thermique, jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.
où S est la surface du matériaux et e son épaisseur. La résistance thermique Rthc est homogène à des K.W-1
Surfaces planes en série
On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective eA, eB et eC et de conductivité radiative respective λA, λB et λC.
Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interface entre 2 matériaux est identique dans chaque matériau (Pas de saut de température au passage d'une interface).
Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique constant.
Les résistances thermiques s'additionnent :
DémonstrationGlobalement, nous avons
Si l'on décompose
- Pour la couche A :
- pour la couche B :
- pour la couche C :
Nota : Compte tenu des hypothèses, le flux (ou la densité de flux) reste constant.
Avec :
Donc
Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.
Analogie électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.Surfaces planes en parallèle
On considère des matériaux plans juxtaposés côte à côte. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre. Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des éléments A, B et C.
Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)
Les conductances thermiques s'additionnent :
DémonstrationPour chaque élément, le flux s'exprime suivant la relation
Avec en prenant l'analogie électrique
où X est égale à A, B ou C Nous avons donc
Le flux total est égal à la somme des flux dans chaque élément
Soit S la surface totale
Le flux surfacique s'écrit alors
Toujours par analogie avec les lois électriques, l'inverse de la résistance thermique est parfois appelé conductance thermique.
Analogie électrique
Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.
Surface cylindrique simple
Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord.
La variation de température s'écrit :
DémonstrationSi l'on considère une variation dR à l'intérieur du matériau constituant le tube, la loi de Fourier s'exprime alors :
Variation de la température dans l'épaisseur du tube
Soit S la surface d'un cylindre :
Nous pouvons écrire la loi de Fourier sous la forme :
La variation de température dans le matériau est donc
Sur la totalité de l'épaisseur du tube, la variation est
Surfaces cylindriques concentriques
Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.
La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :
DémonstrationÉvolution de la température dans la première couche :
Évolution de la température dans la deuxième couche :
Sur la totalité de l'épaisseur du tube :
La résistance thermique de la couche A
La résistance thermique de la couche B
La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :
Conduction en régime dynamique
La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est beaucoup plus délicate. Elle fait appel aux notions de transformées de Fourier, de produit de convolution et de distributions. Nous donnons quelques exemples de résolution.
Cas d'un domaine illimité
Principe général
Ecrivons l'équation de la chaleur sous la forme :
où D est le coefficient de diffusivité thermique et P représente des sources de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais aussi une distribution. Par exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit δ(t)δ(x) d'une distribution de Dirac à l'instant t = 0 par une distribution de Dirac en x = 0, x étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le vecteur position dans le cas général.
On se donne également l'état initial du domaine T0 = T(0,x), qui peut être également une fonction de x ou une distribution. On considère que T est nulle pour t < 0.
La méthode de résolution consiste à[5] [6] :
- Appliquer une transformée de Fourier relative à la variable x, à tous les termes de l'équation différentielle. Cela transforme la dérivation par rapport à x par un produit. Si on prend , alors l'équation devient :
où plutôt, au sens des distributions :
pour tenir compte de la condition initiale.
- Reconnaître dans cette équation un produit de convolution :
L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable t.
- Appliquer la réciproque de l'opérateur dont on montre qu'il vaut H(t)exp( − 4π2Dp2t), où H est la fonction de Heaviside, pour aboutir à :
F(T) = F(P) * H(t)exp( − 4π2Dp2t) + F(T0)H(t)exp( − 4π2Dp2t) Si F(P) est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour t > 0 :
- Prendre la transformée de Fourier inverse pour en déduire T.
Cas particulier
Si on prend T0 = 0 et P = δ(t)δ(x) (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :
- F(P) = δ(t)
donc, pour t > 0 :
- F(T) = exp( − 4π2Dp2t)
dont la transformée de Fourier inverse est, pour t > 0 :
- dans le cas unidimensionnel.
- dans le cas tridimensionnel.
Domaine illimité sans source de chaleur
Si on se donne seulement la température initiale T0 du milieu sans source de chaleur (P = 0), alors on trouve que :
- dans le cas unidimensionnel.
- dans le cas tridimensionnel.
Cas de domaines limités, sans source de chaleur
Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin
Supposons le domaine limité par le plan x=0. Si on se donne pour condition aux limites supplémentaire T(0,t) = 0 pour tout t, alors, il suffit de prolonger la répartition initiale de température T0 par une fonction impaire en x et d'appliquer le résultat précédent.
Le cas le plus célèbre est celui du problème de Kelvin. Ce dernier a considéré dans les années 1860 que la Terre était initialement à une température constante T0 de l'ordre de 3000° et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du gradient de température en fonction de la profondeur, il en a déduit une estimation de l'âge de la Terre. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et infiniment profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :
où erf est dite fonction d'erreur de Gauss.
Le gradient de température à la surface est :
Connaissant de l'ordre de 3°C pour 100 mètres de profondeur et D estimé à , on trouve que t vaut 100 millions d'années. Ce résultat est largement sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de convection au sein du manteau terrestre[7] [8].
Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles
Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. Supposons qu'on se donne comme conditions aux limites T(0,t) = T(L,t) = 0. On utilise une méthode de résolution basée sur les séries de Fourier, en cherchant T sous la forme :
Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si on se donne la répartition de température initiale T0, il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les bn.
Par exemple, si on prend T0 constant, on obtient :
En faisant tendre L vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du paragraphe précédent, la somme précédente étant considérée comme une somme de Riemann convergeant vers l'intégrale.
Cas d'un domaine à géométrie sphérique
Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance r au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du laplacien en sphérique :
Si on pose F = rT, l'équation devient :
On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer F, puis en déduire T en divisant par r.
Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon R (température initiale uniformément égale à T0, la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de T :
où sinc est la fonction sinus cardinal.
Cas de domaines limités, avec source de chaleur
On considère l'équation :
avec P non nul. On cherche en général une solution particulière à cette équation, de façon à ce que, une fois retranchée à T, on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où P représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.
Domaine limité par deux plans parallèles
Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. On suppose qu'à l'instant initial, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :
-
- T(0,t) = T(L,t) = 0 pour tout t positif.
- T(x,0) = 0 pour tout x entre 0 et L.
La fonction indépendante de t vérifie les deux premières relations, de sorte que, si on pose , alors G vérifie :
-
- G(0,t) = G(L,t) = 0
On peut appliquer la méthode vue plus haut en cherchant G sous la forme d'une série :
qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que G(x) = G(L − x), on peut supposer que les coefficients bn sont nuls lorsque n est pair, de sorte que :
Pour t = 0, on a :
On trouve les b2n + 1 en développant en série de Fourier. On trouve :
D'où G, puis finalement :
Lorsque t tend vers l'infini, la température du domaine tend vers , l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.
Domaine limité par un plan
La résolution du même problème dans le cas où x>0 consiste à déterminer T tel que :
-
- T(0,t) = 0 pour tout t positif.
- T(x,0) = 0 pour tout x > 0.
On peut obtenir la solution en faisant tendre L vers l'infini dans l'expression donnée dans le paragraphe précédent, en assimilant la série à une somme de Riemann. On obtient alors l'expression suivante :
erf est la fonction dite fonction d'erreur de Gauss. On peut également trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du principe général relatif à un domaine illimité, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions T et P en des fonctions impaires en x, de façon à ce que T s'annule en x = 0.
Quand t tend vers l'infini, T vaut environ Pt, analogue à celle d'un domaine infini. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.
Domaine à géométrie sphérique
Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon R, on utilise l'expression du laplacien en sphérique et on est amené à résoudre :
-
- Pour tout t, T(R,t) = 0
- Pour tout r, T(r,0) = 0
En posant , G vérifie le système :
-
- Pour tout t, G(R,t) = 0
- Pour tout r,
La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série , où les bn sont trouvés en développant en série de Fourier. On obtient :
et donc :
où sinc est la fonction sinus cardinal.
Quand t tend vers l'infini, la température T tend vers la répartition limite .
Notes et références
Sources
- J.Ph. Pérez et A.M. Romulus. Thermodynamique. Fondements et applications, Masson, Paris, 1993.
Notes
- ↑ Pérez, page 153.
- ↑ a et b Pérez, page 158
- ↑ Pérez, page 160.
- ↑ Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, 1822 [détail des éditions]
- ↑ L. Landau, E. Lifchitz, Physique théorique, mécanique des fluides, Mir-Ellipses, (1994)
- ↑ Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, (1965)
- ↑ Une deuxième source d'erreur, plus marginale, provient du fait que Kelvin néglige également le terme de source d'énergie dû à la radioactivité. Voir England P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry et l'âge de la terre, Pour la Science, février 2008, p.32-37, traduit d'un article d'American Scientist
- ↑ Jean-Louis Le Mouël, Le refroidissement de la Terre, 196ème conférence de l’Université de tous les savoirs, 14 juillet 2000, [1] ou [2]
Voir aussi
- Portail de la physique
Catégories : Transfert thermique | Loi en physique
Wikimedia Foundation. 2010.