Densité mélange

Densité mélange

En statistiques, on appelle densité mélange, ou loi mélange une fonction de densité qui est issue d'une combinaison convexe de plusieurs fonctions de densité.

Définition

En prenant une fonction f(x,θ), densité d'une variable aléatoire x paramétrée par θ. Par exemple, si f est une loi normale, alors θ est constitué de la moyenne et de la variance. Si on appelle \theta_1,\dots,\theta_K une famille de paramètres et \pi_1,\dots,\pi_K une famille de scalaires tels que

\sum_{k=1}^K\pi_k=1,

alors, la fonction g définie par

g(x,\theta_1,\dots,\theta_K)=\sum_{k=1}^K\pi_kf(x,\theta_k)

est la fonction de densité d'une loi mélange à K composantes.

On peut étendre cette définition au cas où le nombre des composantes est infini. En considérant un ensemble Ω de paramètres, si on a

\int_\Omega \pi\left(\theta\right)d\theta=1,

alors, la fonction

g\left(x,\Omega\right)=\int_\Omega\pi(\theta)f(x,\theta)d\theta

est une densité mélange.

Densite2D.jpg

Par exemple, l'image suivante représente la fonction de densité d'un mélange gaussien à deux composantes de dimension 2.

Propriétés

Une densité mélange de densités est elle-même une densité. Cela est notamment dû au fait d'utiliser une combinaison convexe dans la définition (ce ne serait pas nécessairement le cas avec une combinaison linéaire quelconque).

Voir aussi


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