Critères de wolfe

Critères de Wolfe

En optimisation non contrainte, les critères de Wolfe sont un ensemble d'inégalités permettant d'optimiser la méthode de recherche linéaire ; plus précisément, cela permet de sélectionner un pas adéquat pour la recherche linéaire.

Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ une fonction de classe $C k$ , et soit $\mathbf{p}_k$ une direction de descente. Un pas $α k$ est considéré comme satisfaisant les critères de Wolfe si les 2 inégalités suivantes sont vérifiées:

i) $f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\leq f(\mathbf{x}_k)+c_1\alpha_k\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)$ ,

ii) $\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\geq c_2\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)$ ,

Avec $0 < c 1 < c 2 < 1$ . La première inégalité i) est connue sous le nom de condition d'Armijo ( ou condition de Goldstein ou condition de Goldstein-Armijo) et la seconde ii) comme la condition de courbure. i) impose que $α k$ permette de décroître suffisamment $f$ , et ii) assure que le taux d'accroissement de la fonction $\phi(\alpha)=f(\mathbf{x}_k+\alpha\mathbf{p}_k)$ en $α k$ est plus grand que $c 2$ celui en $0$ .

Les critères de Wolfe donnent une façon économique de point de vue algorithmique de calculer le pas permettant de diminuer $φ$ dépendant de $\alpha\in\mathbb R$ . Cependant, les conditions peuvent donner une valeur pour le pas qui n'est pas proche d'un minimum de $φ$ . Si on modifie la condition de courbure de la manière suivante:

iia) $\big|\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\big|\leq c_2\big|\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)\big|$

alors i) et iia) prises ensemble sont appelées conditions fortes de Wolfe, puisque $α k$ est forcément proche d'un point critique de $φ$ .

Références

J. Nocedal and S. J. Wright, Numerical optimization. Springer Verlag, New York, NY, 1999.

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Catégorie : Optimisation

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