Criteres de Wolfe

Criteres de Wolfe

Critères de Wolfe

En optimisation non contrainte, les critères de Wolfe sont un ensemble d'inégalités permettant d'optimiser la méthode de recherche linéaire ; plus précisément, cela permet de sélectionner un pas adéquat pour la recherche linéaire.

Soit f:\mathbb R^n\to\mathbb R une fonction de classe Ck, et soit \mathbf{p}_k une direction de descente. Un pas αk est considéré comme satisfaisant les critères de Wolfe si les 2 inégalités suivantes sont vérifiées:

i) f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\leq f(\mathbf{x}_k)+c_1\alpha_k\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k),
ii) \mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\geq c_2\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k),

Avec 0 < c1 < c2 < 1. La première inégalité i) est connue sous le nom de condition d'Armijo ( ou condition de Goldstein ou condition de Goldstein-Armijo) et la seconde ii) comme la condition de courbure. i) impose que αk permette de décroître suffisamment f, et ii) assure que le taux d'accroissement de la fonction \phi(\alpha)=f(\mathbf{x}_k+\alpha\mathbf{p}_k) en αk est plus grand que c2 celui en 0.

Les critères de Wolfe donnent une façon économique de point de vue algorithmique de calculer le pas permettant de diminuer φ dépendant de \alpha\in\mathbb R. Cependant, les conditions peuvent donner une valeur pour le pas qui n'est pas proche d'un minimum de φ. Si on modifie la condition de courbure de la manière suivante:

iia) \big|\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k+\alpha_k\mathbf{p}_k)\big|\leq c_2\big|\mathbf{p}_k^{\mathrm T}\nabla f(\mathbf{x}_k)\big|

alors i) et iia) prises ensemble sont appelées conditions fortes de Wolfe, puisque αk est forcément proche d'un point critique de φ.

Références

  • J. Nocedal and S. J. Wright, Numerical optimization. Springer Verlag, New York, NY, 1999.
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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