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Formule de Weizsäcker
La formule de Weizsäcker, appelée aussi formule de Bethe-Weizsäcker, est une formule semi-empirique donnant une valeur approximative de l'énergie de liaison nucléaire B caractérisant la liaison entre les nucléons qui constituent le noyau des atomes. Voir un résumé dans Modèle de la goutte liquide.
Son nom provient des inventeurs de la formule, à savoir les physiciens allemands Carl Friedrich von Weizsäcker et Hans Bethe.
Sommaire
Expression
où B est l'énergie de liaison, A est le nombre de masse (ou nombre de nucléons contenus dans le noyau A = Z+N), Z est le nombre de protons, N est le nombre de neutrons.
Les valeurs des constantes utilisées sont (en MeV) :
- av = 15,6
- as = 17,2
- ac = 0,7
- aa = 23,6
- ap = 11,2
Il existe différents jeux de paramètres pour la formule de Weizsäcker. Le choix du jeu de paramètres se définit en fonction des noyaux étudiés. Ainsi certains jeux de paramètres donneront des énergies de liaison plus précises pour les noyaux stables tandis que d'autres jeux donneront des résultats plus satisfaisant pour les noyaux exotiques.
Cette formule permet de retrouver les résultats expérimentaux ci-contre.
Explication des différents termes
La formule de Bethe-Weizsäcker fait apparaitre cinq termes :
.- Les deux premiers sont dus au modèle de la goutte liquide du noyau.
- Le troisième exprime la répulsion électrostatique entre les protons.
- Les deux dernières sont d'ordre quantique.
Pour expliquer ces différents termes, il faut supposer que le noyau est sphérique, de rayon R0. Et comme il est compact (son volume est proportionnel au nombre de nucléons A), alors R0 est proportionnel à A1 / 3.Énergie de volume
Pour expliquer le premier terme, on peut utiliser une analogie avec un gaz parfait pour lequel l'énergie interne est proportionnelle au nombre de particules constituant le gaz. Ainsi, on pose que cette énergie de volume Ev est proportionnelle à A :
.Énergie de surface
La notion de tension de surface sur une goutte liquide peut être utilisée pour interpréter le second terme. En effet, les nucléons à la surface du noyau sont en contact avec moins de nucléons que ceux du centre. L'énergie de liaison en est donc diminuée. Ainsi on introduit l'énergie de surface Es, proportionnelle à la surface du noyau :
.Répulsion électrostatique
Les protons étant tous chargés positivement, il se repoussent mutuellement. Cela participe à diminuer l'énergie de liaison par un terme de répulsion électrostatique Ec. Dans une approximation grossière, le noyau peut être considéré comme une sphère avec une densité de charge uniforme. L'énergie potentielle d'une telle distribution de charge est donnée par :
où Q est la charge totale, R le rayon de la sphère. En identifiant Q à Ze et en prenant le rayon proportionnel à A1 / 3, on obtient la forme du terme coulombien. Cependant, la répulsion coulombienne n'existe que lorsqu'il y a plus d'un proton ce qui induit que Z2 devient Z(Z − 1). La valeur de ac peut être calculée approximativement en utilisant l'équation ci-dessus :
- Q = Ze
- Z2 = Z(Z − 1)
L'énergie potentielle de la distribution de charge est donc :
La constante ac du terme de répulsion électrostatique est :
Une autre valeur de ac peut être obtenue en utilisant la constante de structure fine :
où α est la constante de structure fine, r0A1 / 3, le rayon du noyau avec r0 qui vaut approximativement 1,25 femtomètres. Cela donne une valeur théorique de ac de 0,691 MeV ce qui est peu éloigné des valeurs mesurées.
- ac = 0,691MeV
Énergie d'asymétrie
La répulsion électrostatique étant en compétition avec l'interaction forte pour stabiliser le noyau, les noyaux lourds ont besoin d'un surplus de neutrons afin que cette interaction forte contrebalance l'effet de la répulsion électrostatique. Il y a donc une asymétrie du nombre de neutrons par rapport au nombre de protons. Cela n'a, a priori, aucun autre effet sur l'énergie de liaison que ceux qui ont été étudiés plus haut. En réalité, un effet quantique va jouer un rôle : les nucléons se trouvent sur des niveaux d'énergie, ce qui fait qu'un surplus de neutrons va augmenter leur énergie. On obtient alors que l'effet sur l'énergie de liaison s'écrit : .
Énergie d'appariement
Un deuxième effet quantique joue un rôle dans l'énergie de liaison : les nucléons ayant un spin demi-entier ont tendance à s'apparier deux à deux, pour se grouper préférentiellement en nombre pair. Ainsi, un nombre impair de neutrons ou de protons sera moins stable.
Une formule empirique permet de rendre compte de cet effet en posant une énergie d'appariement (ou de parité) Ep ayant différentes valeurs selon qu'il y ait un nombre pair ou impair de neutrons ou de protons :
Utilisation de la formule
Équation de la vallée de la stabilité
Pour un nombre de masse donné A, on s'aperçoit que la formule de Bethe-Weizsäcker fournit une équation quadratique en fonction de la charge Z. On a ainsi :
Par définition, les noyaux stables sont définis comme étant des noyaux qui minimisent l'énergie de liaisonBA(Z). Ainsi en cherchant les valeurs de Z qui annulent la dérivée BA(Z) par rapport à Z, on peut obtenir une équation donnant les noyaux de la vallée de stabilité.
Voir aussi
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Catégorie : Physique nucléaire
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