- Correspondance de Galois
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En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.
Sommaire
Correspondance antitone
Soient
et
des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés
et
. On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.
Première définition : (m1,m2) est une correspondance de Galois antitone si m1 et m2 sont décroissantes et si
et
sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Deuxième définition : (m1,m2) est une correspondance de Galois antitone si m1 et m2 vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Correspondance isotone
Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de
vers
est une correspondance antitone entre
et l'ensemble ordonné
, où
désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de
. Autrement dit :
Première définition : (m1,m2) est une correspondance de Galois isotone si m1 et m2 sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Deuxième définition : (m1,m2) est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :
Propriétés
Soit (m1,m2) une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).
et
sont croissantes.
(et
), si bien que
et
sont idemptotentes.
est un opérateur de clôture sur
(puisqu'elle est de plus extensive).
- Dans le cas antitone,
est de même un opérateur de clôture sur
.
- Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné
est de la forme
pour une certaine correspondance de Galois[1], en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour m1 la corestriction de c à Q, et pour m2 l'injection canonique de Q dans P.
Note
- (en) T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005 (ISBN 978-1-85233-905-0), p. 10
Voir aussi
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