- Treillis de Galois
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Un treillis de Galois est un treillis dont la construction est basée sur une correspondance de Galois mais peut aussi être définie en termes de rectangles maximaux d'une relation.
Sommaire
Définition à partir d'une correspondance de Galois
- Soient
et
deux fonctions définies sur les treillis
et
telles que (m1,m2) soit une correspondance de Galois.
- Soit G l'ensemble des couples
tels que p = m2(q) et q = m1(p)
- Soit
la relation définie par
si et seulement si
.
La structure
est alors un treillis appelé treillis de Galois.
Définition à partir d'une relation binaire
- Soit
une relation binaire.
- On définit un rectangle maximal de R comme un couple (A,B) tel que
et
[1].
- Ces rectangles maximaux (A,B), ordonnés par inclusion sur leurs premiers membres A - ou dualement sur leurs deuxièmes membres B - forment un treillis appelé treillis de Galois.
Cette dualité d'inclusion caractérise les treillis de Galois.
Théorème fondamental des treillis de Galois
Tout treillis peut être le treillis de Galois d'une relation binaire[2]. Réciproquement, deux relations binaires peuvent avoir le même treillis de Galois (ou plus rigoureusement, deux treillis de Galois isomorphes).
Treillis de concepts
Au XVIIe siècle, les jansénistes de Port-Royal ont dans leurs travaux explicité les notions d'intention et d'extension d'un concept. On retrouve ces notions philosophiques dans les modes de définitions d'un ensemble mathématique : l'extension d'un ensemble est l'inventaire de ses éléments, tandis que l'intention regroupe les propriétés caractéristiques de cet ensemble.
En 1982, le mathématicien allemand Rudolf Wille (en)[3] a réinvesti ces notions philosophiques dans un cadre algébrique et algorithmique :
- Soit X un ensemble d'objets formels et soit Y un ensemble de propriétés formelles que peuvent avoir ces objets,
- Soit
une relation binaire précisant les propriétés que possèdent ces objets,
- Alors chaque élément (A,B) du treillis de Galois correspondant peut être vu comme un concept formel, c'est-à-dire un ensemble d'objets partageant les mêmes propriétés. Le treillis de Galois prend alors le nom de treillis de concepts.
Références
- Cette condition de maximalité peut se traduire par :
et
.
- Ordre et classification, algèbre et combinatoire. Marc Barbut et Bernard Monjardet, Hachette, 1970.
- Analyse de concepts formels
- Soient
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