Constantes de Stieltjes

Constantes de Stieltjes
Thomas Joannes Stieltjes

En mathématique, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :

\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n

On démontre que les (γn) sont donnés par la limite :

\gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty} {\left( \left( \sum_{k=1}^{m} \frac{(\ln k)^n}{k} \right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1} \right)}

\gamma_0 = \gamma\ = 0,577... est la constante d'Euler-Mascheroni.

Sommaire

Propriétés

En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :

\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

Et une comparaison série-intégrale montre que :

| \gamma_n | \leqslant \left( \frac{n}{e} \right) ^ n

Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

Matsuoka, en 1985[1], a montré que l'on avait pour n>4

|\gamma_n| \le 10^{-4}e^{n\ln \ln n}= 10^{-4}(\ln n)^n.

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

Valeurs jusqu'à 15

Voici les quelques premières valeurs :

valeur des coefficients de Stieltjes
Valeur
γ = γ0 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082
γ1 −0,072 815 845 483 676 724 860 586 375 874 9
γ2 0,009 690 363 192 872 318 484 530 386 035 21
γ3 0,002 053 834 420 303 345 866 160 046 542 75
γ4 0,002 325 370 065 467 300 057 468 170 177 53
γ5 0,000 793 323 817 301 062 701 753 334 877 444
γ6 −0,000 238 769 345 430 199 609 872 421 841 908
γ7 −0,000 527 289 567 057 751 046 074 097 505 479
γ8 −0,000 352 123 353 803 039 509 602 052 165 001
γ9 −0,000 034 394 774 418 088 048 177 914 623 798 2
γ10 0,000 205 332 814 909 064 796 837 222 892 371
γ11 0,000 270 184 439 543 903 526 67
γ12 0,000 167 272 912 105 140 193 35
γ13 −0,000 027 463 806 603 760 158 860
γ14 −0,000 209 209 262 059 299 945 84
γ15 −0,000 283 468 655 320 241 446 64

Voir aussi


Notes et références

  1. ↑ Matsuoka,Generalized Euler Constants Associated with the Riemann Zeta Function.,Number Theory and Combinatorics,p279-295,World Scientific,1985

Liens externes


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