Constante de Stieltjes

Constante de Stieltjes

Constantes de Stieltjes

En mathématique, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann :

\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n

On démontre que les (γn) sont donnés par la limite :

\gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty} {\left( \left( \sum_{k=1}^{m} \frac{(\ln k)^n}{k} \right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1} \right)}

γ0 = γ = 0,577... est la constante d'Euler-Mascheroni

Voici les quelques premières valeurs :

n Valeur
0 0,577215664901532860606512090082
1 -0,0728158454836767248605863758749
2 -0,00969036319287231848453038603521
3 0,00205383442030334586616004654275
4 0,00232537006546730005746817017753
5 0,000793323817301062701753334877444
6 -0,000238769345430199609872421841908
7 -0,000527289567057751046074097505479
8 -0,000352123353803039509602052165001
9 -0,0000343947744180880481779146237982
10 0,000205332814909064794683722289237

En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :

\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

Et une comparaison série-intégrale montre que :

| \gamma_n | \leqslant \left( \frac{n}{e} \right) ^ n

Ceci dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

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