Constante de de bruijn-newman

Constante de de bruijn-newman

Constante de De Bruijn-Newman

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique et est définie par les zéros d'une certaine fonction H(\lambda,z)\, , où \lambda\, est un paramètre réel et z est une variable complexe. H possède seulement des zéros réels si et seulement si \lambda \ge \Lambda\, . La constante est fermement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction \zeta\, générale d'Euler - Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante \Lambda \le 0\, .

De Bruijn en 1950 a montré que \Lambda \le \frac{1}{2} , en accord avec le travail de Newman, qui, le premier a estimé qu'elle serait \Lambda \ge 0. De sérieux calculs sur Λ ont été faits depuis 1988 et sont encore faits à l'heure actuelle comme nous le voyons sur cette table :

Années Borne inférieure de Λ
1988 -50
1991 -5
1990 -0,385
1994 -4,379 · 10 -6
1993 -5,895 · 10 -9
2000 -2,7 · 10 -9

Puisque H(λ,z) est la transformée de Fourier de F(eλxΦ) alors H a la représentation de Wiener-Hopf :

\xi (1/2+iz)= A\sqrt \pi (\lambda)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^{2}} H(\lambda , x) dx

qui est seulement valide pour Lambda positif ou nul, cela peut être vu qu'à la limite lambda tend vers zéro alors H(0,x) = ξ(1 / 2 + ix) pour le cas Lambda négatif alors H est défini ainsi :

H(z,\lambda)=B\sqrt \pi (\lambda)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-1}{4\lambda}(x-z)^{2}} \xi(1/2+ix) dx

où A et B sont des constantes réelles.

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