Absolue continuité

Absolue continuité
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En mathématiques, on introduit les notions de fonction absolument continue et de mesure absolument continue. Ces deux concepts entretiennent des rapports.

Sommaire

Fonction absolument continue

Motivation

Une fonction continue f\, sur un intervalle est égale à la dérivée de l'intégrale fonction de sa borne supérieure F\,, définie par F(x)=\int_a^x f(t)dt (théorème fondamental de l'analyse). Dans un cadre plus général, celui de l'intégrale de Lebesgue, une fonction L^1\, est égale presque partout à la dérivée de son intégrale.

Par contre, une fonction F\, presque partout dérivable, même si sa dérivée est L^1\,, peut ne pas être égale à l'intégrale de sa dérivée. L'escalier du diable, ou escalier de Cantor, est un exemple de ce phénomène. Travailler dans l'espace des fonctions absolument continues assure que les fonctions considérées sont bien égales à l'intégrale de leur dérivée.

Définition

Soit \scriptstyle\ A=[a,b]\, un intervalle. On dit que la fonction \scriptstyle\ F est absolument continue sur \scriptstyle\ A\, si, pour tout réel \scriptstyle\ \epsilon > <span class=0\," border="0">, il existe un \scriptstyle\ \delta > <span class=0\," border="0"> tel que, pour toute suite \scriptstyle\ ([a_n, b_n])_{n \in \mathbb{N}} \, de sous-intervalles de \scriptstyle\ A\, d'intérieurs disjoints,

\sum_{n \geq 0}{(b_n-a_n)} < \delta \Rightarrow \sum_{n \geq 0}{|F(a_n)-F(b_n)|}< \epsilon.

Propriétés

  • \scriptstyle\ F\ est absolument continue sur \scriptstyle\ [a,b] si et seulement s'il existe une fonction \scriptstyle\ f\ intégrable sur \scriptstyle\ [a,b]\, (au sens de Lebesgue) telle que pour tout \scriptstyle\ x \in [a,b],
F(x)-F(a) = \int_a^x {f(t) dt}.\
  • Réciproquement, si \scriptstyle\ F\ est continue, à variation bornée et possède la propriété N de Luzin, alors elle est absolument continue.

Contre-exemple

La fonction continue qui a pour graphe l'escalier du diable n'est pas absolument continue : l'image de l'ensemble de Cantor, qui est de mesure nulle, est \scriptstyle\ [0,1]\, tout entier.

Mesure absolument continue

Soient \scriptstyle\ \mu\ et \scriptstyle\ \nu\ deux mesures complexes sur un espace mesuré \scriptstyle\ (\mathcal{X},\Tau). On dit que \scriptstyle\ \nu\ est absolument continue par rapport à \scriptstyle\ \mu\ si et seulement si pour tout ensemble mesurable \scriptstyle\ A\ , \scriptstyle\ \mu(A)=0\Rightarrow \nu(A)=0, ce que l'on note \scriptstyle\ \nu \ll \mu.

Le théorème de Lebesgue-Nikodym donne une autre caractérisation dans le cas où \scriptstyle\ \mu\ est positive, \scriptstyle\ \sigma\ finie et \scriptstyle\ \nu\ est complexe, \scriptstyle\sigma-finie: il existe alors \scriptstyle\ f\ fonction mesurable telle que \scriptstyle\ d\nu=f\,d\mu. La fonction \scriptstyle\ f\ est appelée densité de la mesure \scriptstyle\ \nu\ par rapport à la mesure \scriptstyle\ \mu.

Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue

Une fonction \scriptstyle\ F\ est localement absolument continue si et seulement si sa distribution dérivée est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, une mesure \scriptstyle\ \mu\ bornée sur l'ensemble des boréliens de la droite réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction de répartition associée

F:x\mapsto\mu(]-\infty,x])

est localement une fonction absolument continue.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]


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