- Conjonction logique
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Pour les articles homonymes, voir Conjonction.La conjonction logique de deux événements, comme son nom l'indique, représente le fait que deux événements sont conjoints (présents simultanément).
Dans le langage logique ou mathématique et dans les domaines techniques qui l'emploient, la conjonction, ou ET logique, est un opérateur logique dans le calcul des propositions. La proposition obtenue en reliant deux propositions par cet opérateur s'appelle également leur conjonction, ou leur produit logique. La conjonction de deux propositions P et Q est vraie si les deux propositions sont simultanément vraies; sinon elle est fausse. La conjonction s'écrit :- P ∧ Q
et se lit
- « P et Q »
Par exemple, considérons :
- (x > 13) ∧ (x < 27).
Si x vaut 36, alors x > 13 est vrai, mais x < 27 est faux, ainsi cette proposition est fausse. Mais si x vaut 20, alors les deux parties de la proposition sont vraies, ainsi la conjonction est également vraie.
Le symbole « ∧ » s'appelle connecteur de conjonction.
Les langages informatique utilisent plus souvent le & (esperluette) (qui existe en ASCII, contrairement à ∧) pour représenter cette opération, et même && pour un « et court-circuit », qui a principalement pour fonction de répondre « faux » à l'expression « P && Q » quand P est faux, même quand Q est indéfini.
La table de vérité d’une conjonction est donnée par le tableau suivant
P Q P ∧ Q vrai vrai vrai vrai faux faux faux vrai faux faux faux faux Intuitivement, l'opérateur logique travaille de la même manière que le mot commun « et ». La phrase « Il pleut et je suis à l'intérieur » affirme que deux choses sont simultanément vraies : qu'il pleut dehors, et que je suis à l'intérieur. Logiquement, cette affirmation serait notée A et B, si A représente l'affirmation « il pleut », et B remplace « je suis à intérieur ».
La conjonction que nous avons décrite est un opérateur binaire, ce qui signifie qu'elle combine deux propositions en une seule. Cependant, nous pouvons enchaîner des conjonctions, en considérant par exemple A ∧ B ∧ C, qui est par définition l'une ou l'autre des deux propositions logiquement équivalentes (A ∧ B) ∧ C ou A ∧ (B ∧ C). Cette proposition est vraie quand A, B, et C sont simultanément vraies. L'enchaînement des conjonctions est rendu possible grâce à l'associativité du ∧. L'opérateur est également commutatif ; A ∧ B est équivalent à B ∧ A.
Donnons quelques propriétés de la conjonction :
Soient P, Q et R trois propositions.- (P ∧ P) ⇔ P idempotence du « et »
- (P ∧ Q) ⇔ (Q ∧ P) commutativité du « et »
- ((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)) associativité du « et »
- ¬ (P ∧ Q) ⇔ ((¬ P) ∨ (¬ Q)) la négation d'une conjonction est la disjonction des négations
- ¬ (P ∨ Q) ⇔ ((¬ P) ∧ (¬ Q)) la négation d'une disjonction est la conjonction des négations
- (P ∨ (Q ∧ R)) ⇔ ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)) distributivité de « ou » par rapport à « et »
- (P ∧ (Q ∨ R)) ⇔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)) distributivité de « et » par rapport à « ou »
- ¬ (P ∧ (¬ P)) loi de non contradiction
La généralisation de la conjonction à des familles (éventuellement infinies) de propositions est la quantification universelle, qui fait partie du calcul des prédicats.
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