Conjecture de Mertens

Conjecture de Mertens

En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi:

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

\mu(k)\, étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

\left| M(n) \right| < \sqrt { n }

Stieltjes prétendit en 1885 que \frac{M(n)}{\sqrt { n }} était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être -1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1897 affirmant, calcul de M(104) à l'appui, que l'inégalité \left| M(n) \right| < \sqrt { n } lui semblait très probable pour tout n>1.

Or toute inégalité de la forme \left| M(n) \right| < c \sqrt { n }, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à :

\forall\varepsilon>0,\qquad M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon}).

On démontre un sens de cette équivalence ainsi :

\frac{1}{\zeta(z)} = z \int_1^{\infty} \frac{M(x)}{x^{z+1}} dx

où ζ(z) est la fonction zêta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, ce qui impliquerait que \frac{1}{\zeta(z)} est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros de \zeta(z)\, vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Herman te Riele (en) et Andrew Odlyzko (de) ont démontré que la conjecture de Mertens est fausse[1]. Plus précisément, ils ont démontré que \frac{M(n)}{\sqrt { n }} a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à -1,009[2]. János Pintz (en) a montré peu après qu'il existe au moins un entier inférieur à exp(3,21.1064) réfutant la conjecture[3].

On ignore toujours si \frac{M(n)}{\sqrt { n }} est bornée, mais Te Riele et Odlyzko considèrent qu'il est probable que non.

Notes et références

  1. ↑ (en) A. M. Odlyzko et H.J.J. te Riele, « Disproof of the Mertens Conjecture », dans Journal für die reine und angewandte Mathematik, no 357, 1985, p. 138-160 [texte intégral] .
  2. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Mertens Conjecture », MathWorld
  3. ↑ (en) J. Pintz, An effective disproof of the Mertens conjecture, Astérisque 147-148 (1987), p. 325-333.



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