Coefficients de Clebsch-Gordan

En physique, les coefficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833-1872) et Paul Gordan (1837-1912), qui rencontrèrent un problème similaire en théorie des invariants.

En théorie des représentations, notamment des groupes de Lie compacts, ces coefficients sont utilisés pour effectuer la décomposition en somme directe du produit tensoriel de deux représentations irréductibles.

On peut définir les coefficients de Clebsch-Gordan associés au groupe SO(3) d'une manière plus directe, comme produit d'harmoniques sphériques. L'addition de spins en mécanique quantique se comprend par cette approche. Dans cet article, on utilisera la notation bra-ket de Dirac.

Sommaire

1 Notations préliminaires
- 1.1 Opérateurs de moment angulaire
- 1.2 États de moment angulaire
2 Définition et propriétés
3 Lien avec les symboles 3—jm
4 Coefficients de Clebsch-Gordan du groupe SU(N)
5 Voir aussi

Notations préliminaires

Opérateurs de moment angulaire

Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens $j 1, j 2$ et $j 3$ qui vérifient les relations suivantes :

$\left[ j_k,j_l \right] = i h/(2\pi)\sum_{m=1}^3 \varepsilon_{klm}j_m \,$

avec $ε k l m$ le symbole de Levi-Civita. Ces trois termes peuvent être considérés comme les composantes d'un opérateur vectoriel $\mathbf{j}$ . Le carré de la norme de $\mathbf{j}$ est défini par :

$\mathbf{j}^2 = j_1^2+j_2^2+j_3^2$

On définit également les opérateurs $(j +)$ et $(j -)$ par :

$j_\pm = j_1 \pm i j_2. \,$

États de moment angulaire

On peut montrer que $\mathbf{j}^2$ commute avec $j 1, j 2$ et $j 3$ :

$\left[ \mathbf{j}^2, j_k \right] = 0$ avec k = 1,2,3.

Lorsque deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres. Par convention, on choisit $\mathbf{j}^2$ et $j 3$ . D'après les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :

$\begin{alignat}{2} \mathbf{j}^2 |j m\rangle = j\left(j+1\right) |j m\rangle & \;\;\; j=0, 1/2, 1, 3/2, 2, \ldots\\ j_3|j m\rangle = m |j m\rangle & \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j. \end{alignat}$

Les opérateurs $(j +)$ et $(j -)$ changent la valeur de $m$ :

$j_\pm |jm\rangle = C_\pm \left(j,m\right) |j m\pm 1\rangle$

avec

$C_\pm \left(j,m\right) = \sqrt{j\left(j+1\right)-m\left(m\pm 1\right)} = \sqrt{\left(j\mp m\right)\left(j\pm m + 1\right)}.$

Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de $C_\pm\left(j,m\right)$ . Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont distinctes — et sont supposés normalisés :

$\langle j_1 m_1 | j_2 m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.$

Définition et propriétés

Définition

Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :

$|\left(j_1j_2\right)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} |j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$

Les coefficients qui apparaissent dans le développement, notés $\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle$ , sont les coefficients de Clebsch-Gordan.

En appliquant l'opérateur :

$J_3 = j_3 \otimes 1 + 1 \otimes j_3$

des deux côtés de l'égalité, on montre que les coefficients de Clebsch-Gordan peuvent ne pas être nuls seulement lorsque :

$M = m_1 + m_2.\,$

Relations d'orthogonalité

On peut introduire la notation alternative, mais équivalente, suivante :

$\langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \equiv \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle$

Il est alors possible d'établir deux relations d'orthogonalité :

$\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle \langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}$

$\sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M' \rangle = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}$

Propriétés de symétrie

La relation de symétrie suivante est toujours valable :

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M \rangle = \left(-1\right)^{j_1+j_2-J}\langle j_1 {-m_1} j_2 {-m_2}|J {-M}\rangle= \left(-1\right)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M \rangle.$

Lien avec les symboles 3—jm

Les coefficients de Clebsch-Gordan sont reliés aux symboles 3-jm, qui sont plus agréables à manipuler du fait de symétries plus simples. Cette relation s'exprime par l'équation suivante :

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = \left(-1\right)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix}.$