Cobordisme

En topologie différentielle, le cobordisme est une relation réflexive, transitive et symétrique entre variétés différentielles compactes. Deux variétés compactes M et N sont dites cobordantes ou en cobordisme si leur réunion disjointe peut être réalisée comme le bord d'une variété à bord compacte L. On dit alors que cette variété L est un cobordisme entre M et N, ou bien que L réalise un cobordisme entre M et N. L'existence d'un tel cobordisme implique que M et N soient de même dimension.

À proprement parler, le cobordisme n'est pas une relation d'équivalence car la classe des variétés différentielles d'une dimension donnée n n'est pas un ensemble. Toutefois, le fait que deux variétés M et N soient cobordantes ne dépend pas de la classe de difféomorphismes de ces variétés. Le cobordisme définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des variétés différentielles de dimension n identifiées à difféomorphisme près.

Par convention, une variété est supposée dénombrable à l'infini, id est, elle est réunion croissante d'une famille dénombrable de parties compactes. Chaque compact peut être recouvert par un nombre fini de domaines de cartes locales, et chaque domaine s'identifie à un ouvert de Rⁿ. Une variété différentielle a donc la puissance du continu. La classe des variétés différentielles de dimension n identifiées à difféomorphisme près s'obtient comme un quotient de l'ensemble des structures de variétés différentielles de dimension n sur l'ensemble R.

Il existe une relation plus fine que le cobordisme pour les variétés différentielles orientées. Une orientation sur une variété à bord induit une orientation sur le bord. Pour une variété différentielle orientable connexe M, il existe exactement deux orientations distinctes. Si une de ces orientations est spécifiée, M est dite par abus de langage orientée. On note alors la variété M munie de la seconde orientation. Deux variétés compactes orientées M et N sont dites cobordantes lorsqu'il existe une variété à bord compacte et orientée W dont le bord est la réunion disjointe de et de N. On dit que W est un cobordisme orienté entre M et N.

Il existe aussi d'autres notions de cobordisme abordées plus en avant dans l'article.

Exemples de cobordismes

En dimension 0

Les variétés compactes de dimension 0 sont exactement les ensembles finis de points. Les difféomorphismes sont les bijections. À difféomorphisme près, elles sont classifiées par leur cardinal. Une variété à bord compacte de dimension 1 est simplement une réunion finie disjointe de copies du segment [0,1] et de copies du cercle. L'utilisation de segments permet par un cobordisme d'annuler un nombre pair de points (voir figure ci-à droite). Par contre, un point n'est pas en cobordisme avec une paire de points. De fait, deux ensembles finis sont en cobordisme ssi leurs cardinals ont même parité.

Comme toute variété connexe, un point a exactement deux orientations, symbolisées par un signe (+ ou -). Une variété compacte orientée de dimension 0 est une collection finie de signes + et -. L'utilisation de copies du segment orienté [0,1] permet par un cobordisme orienté d'annuler un signe + avec un signe -, ou au contraire de créer un signe + et un signe -. Le nombre de signes + moins le nombre de signes -, appelé signature, est invariant par cobordisme orienté.

En dimension 1

Un cobordisme entre un cercle (partie supérieure) et une réunion de deux cercles disjoints (partie inférieure).

Un cobordisme entre un cercle (C3) et une réunion de deux cercles disjoints enlacés (C1 et C2).

L'unique variété compacte connexe de dimension 1 est à difféomorphisme près le cercle. De fait, une variété différentielle compacte de dimension 1 est une somme disjointe d'un nombre fini de cercles. Le pantalon réalise un cobordisme entre un cercle et une union de deux cercles (voir figures ci-contre). Par une récurrence immédiate, toute union disjointe d'un nombre fini de cercle est à son tour cobordante à un cercle. Le cobordisme en dimension 1 n'apporte aucune information pertinente.

En dimension supérieure

• Toute hypersurface compacte de Rⁿ borde un domaine compact. En soustrayant une boule fermée à un tel domaine, toute hypersurface compacte de Rⁿ est cobordante à la sphère S^n-1.
• Toute surface compacte orientable de dimension 2 se réalise comme une hypersurface compacte de R³. L'exemple précédent montre que toutes les surfaces orientables de dimension 2 sont cobordantes. Le cobordisme ne donne pas d'informations sur le genre.
• Toute variété compacte orientable de dimension 3 est cobordante à la sphère S³. Le résultat est faux en dimension supérieure.

Contraintes

Il existe des contraintes de nature homologique empêchant deux variétés différentielles d'être cobordantes. Ces contraintes utilisent les classes caractéristiques.

Nombres de Stiefel-Whitney

Toute classe caractéristique à coefficients dans Z/2Z s'écrit (de manière unique) comme un polynôme en les classes de Siefel-Whitney.

A toute partition s de n et à toute variété différentielle M de dimension n est associée le nombre de Stiefel-Whitney w_s(M) dans Z/2Z.

Théorème de Pontrjagin - Si deux variétés différentielles M et N de même dimension sont cobordantes, alors elles ont les mêmes nombres de Stiefel-Whitney.

Théorème de Thom - Si deux variétés différentielles de même dimension ont mêmes nombres de Stiefel-Whitney, alors elles sont cobordantes.

Deux variétés différentielles de même dimension sont cobordantes ssi elles ont les mêmes nombres de Stiefel-Whitney.

Théorème du h-cobordisme

Le théorème du h-cobordisme permet de comprendre le cobordisme en termes de recollements et de constructions topologiques. Sa preuve s'appuie sur l'utilisation des fonctions de Morse et des rudiments de la théorie de Morse.

Cobordisme entre variétés de contact

Une variété de contact est une variété différentielle compacte de dimension impaire N, munie d'une forme différentielle α telle que soit une forme volume. Elle est dite :

• Bord convexe d'une variété symplectique (M,ω) de dimension 2n+2, lorsqu'elle est réunion de composantes connexes du bord de M au voisinage desquelles il existe un champ de Liouville sortant ;
• Bord concave d'une variété symplectique (M,ω) de dimension 2n+2, lorsqu'elle est réunion de composantes connexes du bord de M au voisinage desquelles il existe un champ de Liouville rentrant.

Deux variétés de contact (N₁,α₁) et (N₂,α₂) sont dites cobordantes lorsqu'il existe une variété symplectique (M,ω) dont la frontière est la réunion disjointe de N₁ et N₂ réalisées comme bords concaves et convexes respectivement.

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