Cardinalité (mathématiques)

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En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble. En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro.

La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre. Par exemple, un ensemble infini est dit dénombrable s'il est en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. C'est le cas de l'ensemble des entiers relatifs ou de celui des rationnels mais pas de celui des réels, d'après l'argument de la diagonale de Cantor. L'ensemble des réels a un cardinal strictement plus grand, ce qui signifie qu'il existe une injection dans un sens mais pas dans l'autre. Le théorème de Cantor généralise ce résultat en montrant que tout ensemble est de cardinal strictement inférieur à l'ensemble de ses parties.

L'étude de la cardinalité en toute généralité peut être approfondie avec la définition des nombres cardinaux.

Il existe plusieurs notations classiques pour désigner le cardinal d'un ensemble, avec l'opérateur Card, le croisillon (#) préfixe, à l'aide de barres verticales de chaque côté ou une ou deux barres horizontales au-dessus^[1].

Un ensemble de cardinal 4.

Différentes notations pour le cardinal d'un ensemble E

Cardinal d'un ensemble fini

Définition

Un ensemble E est dit fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel n non nul et une suite finie d'éléments de E dans laquelle chaque élément de E apparait exactement une fois. Autrement dit, un ensemble non vide est fini s'il est en bijection avec un intervalle d'entiers .

La propriété fondamentale pour bien définir le cardinal d'un ensemble fini est l'unicité de l'entier n correspondant. En effet, si un ensemble est en bijection avec deux intervalles d'entiers et , alors n = p.

Propriétés

Soit E et F deux ensembles finis de cardinaux respectifs k et n.

• Si E et F peuvent être mis en bijection, alors k = n.

Parties d'un ensemble

• Tout sous-ensemble de E est fini et de cardinal inférieur à k.
• Tout sous-ensemble strict de E est de cardinal strictement inférieur^[2] à k.
• Si A est un sous-ensemble de E alors le cardinal de son complémentaire est donné par la formule :

  

• L'union et l'intersection de deux parties A et B de E sont reliées par la formule :

  

Opérations sur les ensembles

• L'union disjointe de E et F est finie de cardinal la somme k + n.
• Le produit cartésien de E et F est fini de cardinal le produit k × n.
• L'ensemble des applications de E dans F est fini et de cardinal la puissance n^k (avec la convention 0⁰ = 1 si les deux ensembles sont vides).
• L'ensemble des parties de E est fini de cardinal 2^k.
• L'ensemble des injections de E dans F est vide si k > n et de cardinal donné par le quotient de factorielles n! / (n − k)! sinon.
• En particulier, l'ensemble des permutations de E est de cardinal k!.
• Le cardinal de l'ensemble des surjections de E dans F est donné par la somme suivante (qui est nulle si k < n ) :

  

D'autres constructions usuelles à partir d'ensembles finis ont des cardinaux décrits par des formules explicites.

Cas dénombrable

L'ensemble N des entiers naturels n'est pas fini, car l'application qui à chaque entier associe l'entier suivant est une bijection de N dans l'ensemble N* des entiers naturels non nuls, qui est un sous-ensemble strict.

Au-delà du dénombrable

Le résultat qui fonde la théorie des nombres cardinaux est le théorème de Cantor qui montre qu'un ensemble n'est jamais équipotent à l'ensemble de ses parties, donc qu'il existe plusieurs cardinalités infinies différentes.

Notes et références

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