Clôture Algébrique

Clôture Algébrique

Clôture algébrique

En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire tel que tout polynôme à coefficients dans l'extension admet autant de racines que son degré.

En utilisant le lemme de Zorn, il est possible de démontrer que tout corps possède une clôture algébrique et que cette clôture est unique à un isomorphisme près qui laisse invariants tous les éléments de K. En raison de cette unicité essentielle, on parle souvent de la clôture algébrique d'un corps plutôt que d'une clôture algébrique.

La clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme la plus grande extension algébrique de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors la clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans la clôture algébrique de K.

La clôture algébrique de K est également le plus petit corps algébriquement clos contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K, alors les éléments de M, algébriques sur K, forment une clôture algébrique de K.

La clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini.

Exemples

  • Il existe des corps algébriquement clos dénombrables inclus dans le corps des nombres complexes, qui contiennent (strictement) le corps des nombres algébriques ; ce sont les clôtures algébriques des extensions transcendantes du corps des rationnels, comme par exemple la clôture algébrique de Q(π).
  • La clôture algébrique d'un corps fini d'ordre premier p est un corps dénombrable qui contient une copie du corps d'ordre pn, pour tout entier naturel n (c'est en fait l'union de toutes ces copies).
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