Circuit RLC série

Circuit RLC série

Circuit RLC

En électrocinétique, un circuit RLC est un circuit linéaire contenant une résistance électrique, une bobine (inductance) et un condensateur (capacité).

Il existe deux types de circuits RLC série ou parallèle, selon l'interconnexion des trois types de composants. Le comportement d'un circuit RLC est généralement décrit par une équation différentielle du second ordre (là où des circuits RL ou circuits RC se comportent comme des circuits du premier ordre).

À l'aide d'un générateur de signaux, il est possible d'injecter dans le circuit des oscillations et observer dans certains cas une résonance, caractérisée par une augmentation du courant (lorsque le signal d'entrée choisi correspond à la pulsation propre du circuit, calculable à partir de l'équation différentielle qui le régit).

Sommaire

Circuit RLC en série

Schema circuit RLC serie.jpg

Circuit soumis à un échelon de tension

Si un circuit RLC série est soumis à un échelon de tension E \, , la loi des mailles impose la relation :

E = u_C + L * \frac{di}{dt} + R_ti

En introduisant la relation caractéristique du condensateur :

 i_C = i = C * \frac{du_C}{dt}

on obtient l'équation différentielle du second ordre :

E = u_C +  LC *\frac{d^2u_c}{dt^2} + R_tC * \frac{du_c}{dt}

Avec :

Dans le cas d'un régime sans pertes, c’est-à-dire pour R_t = 0 \, , on obtient une solution se mettant sous la forme :

u_c = E * \cos{ \frac{2 \pi t}{T_0} + \phi }
 T_0 = 2\pi \sqrt{LC}

Avec :

  • T0 la période d'oscillation, en secondes ;
  • φ la phase à l'origine (le plus souvent choisie telle que φ = 0)

Circuit soumis à une tension sinusoïdale

La transformation complexe appliquée aux différentes tensions permet d'écrire la loi des mailles sous la forme :

\underline {U_G} = \underline {U_C} +\underline {U_L} +\underline {U_R}

soit, en introduisant les impédances complexes :

\underline {U_G} = - \frac{j}{C \omega} \underline I + j L \omega \underline I + R_{t} * \underline I = \bigg[ R_t + j \frac{LC \omega^2 - 1}{C \omega} \bigg]  \underline I

La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω0 est donnée par :

\omega_0= \frac{1}{\sqrt{LC}}

Pour cette fréquence la relation ci-dessus devient :

\underline {U_G} = \underline {U_R} = R_t \underline I

et on a : \underline {U_L} = - \underline {U_C} = \frac{j}{R_t} \sqrt{\frac{L}{C}} * \underline {U_G}

Circuit RLC en parallèle

Schema circuit RLC parallele3.jpg
 i_r     =  \frac{u}{R}
 \frac{di_l}{dt} = \frac{u}{L}
 i_c = \frac{dq}{dt} = C \frac{du}{dt}
car q = Cu
i = ir + il + ic
 \frac{di}{dt} = C \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{1}{R} \frac{du}{dt} + \frac{u}{L}

Attention : la branche C est en court-circuit : on ne peut pas brancher A, B directement aux bornes d'un générateur E, il faut lui ajouter une résistance.

Les deux conditions initiales sont :

  • il0 garde sa valeur avant la mise sous tension (car l'inductance s'oppose à la variation du courant).
  • q0 garde sa valeur avant la mise sous tension  u_0 = \frac{q_0}{C}.

Circuit soumis à une tension sinusoïdale

La transformation complexe appliquée aux différentes intensités donne :

\underline I=\underline {I_r} + \underline {I_l} +\underline {I_c}

soit, en introduisant les impédances complexes :

\underline I = \frac{1}{R} \underline U + \frac{1}{j L \omega} \underline U + j C \omega \underline U
soit : \underline I = \left[ \frac{1}{R} + j (C \omega - \frac{1}{L \omega}) \right] \underline U

La fréquence angulaire de résonance en intensité d'un tel circuit ω0 est donnée par :

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Pour cette fréquence la relation ci-dessus devient :

\underline I = \underline {I_r} = \frac{1}{R}* \underline U
et on a : \underline {I_c} = -\underline {I_l} = j \sqrt{ \frac{C}{L}} \underline U

Voir aussi

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