- Champ equiprojectif
-
Champ équiprojectif
Dans un espace affine euclidien E, un champ de vecteurs
est équiprojectif si :où
désigne le produit scalaire.Il existe alors un endomorphisme antisymétrique u tel que :
-
.
Sommaire
Démonstration
Antisymétrie
Soit O un point arbitraire de E. Pour tout vecteur
, il existe un unique point P tel que 
et on définit u par 
.Montrons que, pour tous vecteurs
et 
, on a :ce qui prouve l'antisymétrie de u.
On a en effet :
-
en utilisant l'équiprojectivité du champ V
en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.
Si on échange les rôles de
et 
, on obtiendra :On obtient bien :
Linéarité
On déduit de l'antisymétrie que u est linéaire. En effet, pour tout
, , λ, on a :Cette égalité étant vraie pour tout
, on en déduit que :On procède de même pour montrer que :
Cas de la dimension 3, torseur
Dans une base orthonormée directe, u, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique
Si on nomme
le vecteur de composantes 
, alors la matrice précédente est celle de l'application 
.On a donc
et donc est le champ des moments d'un torseur de résultante .Exemple
L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si P et Q sont deux points du solide, et si on note d la distance entre P et Q, on a :
et en dérivant par rapport au temps :
où
désigne la vitesse en un point.Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur
s'appelle vecteur instantané de rotation.Voir aussi
Portail de la physique
Portail des mathématiques
Catégories : Algèbre linéaire | Mécanique -
Wikimedia Foundation. 2010.
