- Champ equiprojectif
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Champ équiprojectif
Dans un espace affine euclidien E, un champ de vecteurs
est équiprojectif si :
où
désigne le produit scalaire.
Il existe alors un endomorphisme antisymétrique u tel que :
-
.
Sommaire
Démonstration
Antisymétrie
Soit O un point arbitraire de E. Pour tout vecteur
, il existe un unique point P tel que
et on définit u par
.
Montrons que, pour tous vecteurs
et
, on a :
ce qui prouve l'antisymétrie de u.
On a en effet :
-
en utilisant l'équiprojectivité du champ V
en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.
Si on échange les rôles de
et
, on obtiendra :
On obtient bien :
Linéarité
On déduit de l'antisymétrie que u est linéaire. En effet, pour tout
,
, λ, on a :
Cette égalité étant vraie pour tout
, on en déduit que :
On procède de même pour montrer que :
Cas de la dimension 3, torseur
Dans une base orthonormée directe, u, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique
Si on nomme
le vecteur de composantes
, alors la matrice précédente est celle de l'application
.
On a donc
et donc
est le champ des moments d'un torseur de résultante
.
Exemple
L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si P et Q sont deux points du solide, et si on note d la distance entre P et Q, on a :
et en dérivant par rapport au temps :
-
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où
désigne la vitesse en un point.
Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur
s'appelle vecteur instantané de rotation.
Voir aussi
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