Champ Déplacement Électrique

Champ Déplacement Électrique

Induction électrique

En électromagnétisme, l'induction électrique est un champ vectoriel noté \vec{D}(\vec{r},t) = D(r,t) en fonction de la position dans l'espace \vec{r} = r et du temps t, ou encore \vec{D}(\vec{r},\omega) = D(r,ω) en fonction de la position dans l'espace \vec{r}=r et de la fréquence ω, qui apparait dans les équations de Maxwell des milieux . Il est encore appelé champ déplacement électrique ou densité de flux électrique.

Unités

Dans le système d'unités de mesures internationales dit SI, D est mesuré en coulombs par mètre carré, c'est-à-dire C/m2 ou encore C.m-2.

Ce choix d'unités résulte de l'équation simplifiée dite de Maxwell-Ampère :

\vec{\mathrm{rot}} \ \vec{H} \ = \ \vec{J} \ + \ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} ,

soit encore

\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}} {\partial t} ,

où H est exprimé en ampères par mètre (A.m-1), et J en ampères par mètre carré (A.m-2). D doit donc être exprimé en ampères par mètre carré fois des secondes (A.m-2.s), ce qui donne des coulombs par mètre carré (C.m-2), car le coulomb est par définition la quantité d'électricité traversant une section d'un conducteur parcouru par un courant d'intensité de 1 ampère pendant 1 seconde (1 C = 1 A.s).

Relation avec le champ électromagnétique

En général, on considère les milieux dits linéaires, \vec{D}(\vec{r},\omega) est alors relié au champ électrique \vec{E}(\vec{r},\omega) par la relation


\vec{D}(\vec{r},\omega) \ = \ \epsilon(\vec{r},\omega) * \vec{E}(\vec{r},\omega)


où \epsilon(\vec{r},\omega) représente la permittivité absolue du milieu, qui est une matrice 3x3 dans les milieux anisotropes, et une fonction dans les milieux isotropes. Cette relation n'est pas universelle : échappent à cette relation, entre autres, les milieux électriquement non linéaires (\vec{D}(\vec{r},\omega) dépend alors aussi des termes quadratiques de \vec{E}(\vec{r},\omega)),


\vec{D} = \frac{\vec{E}}{\|\vec{E}\|} \left( \varepsilon^{(1)}\cdot \|\vec{E}\| + \varepsilon^{(2)}\cdot \|\vec{E}\|^2 + \varepsilon^{(3)}\cdot \|\vec{E}\|^3 + \cdots \right)


et les milieux dits « chiraux » (\vec{D}(\vec{r},\omega) dépend alors linéairement de \vec{E}(\vec{r},\omega) mais aussi du champ magnétique \vec{H}(\vec{r},\omega)) :

Induction électrique dans un condensateur

Pour un condensateur, la densité de charge sur les plaques est égale à la valeur du champ D entre les plaques. Ceci fait suite directement à la loi de Gauss, en intégrant sur une boîte rectangulaire chevauchant les plaques du condensateur :


\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q


où S représente l'aire orientée de la boîte et Q la charge accumulée par le condensateur. La partie de la boîte à l'intérieur de la plaque à un champ nul (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est nulle), et sur les bords de la boite, d\vec{A} est perpendiculaire au champ (donc la partie de l'intégrale s'y reportant est aussi nulle). Au final, il reste :

|\vec{D}| = \frac{Q}{S}

ce qui représente la densité de charge de la plaque.


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