Chaine aliquote

Chaine aliquote

Suite aliquote

En arithmétique, une suite aliquote est une suite d'entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres[1] de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s'arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre.

Ainsi la suite commençant à 10 se comporte de la manière suivante :

u0 = 10
les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5.
u1 = 1 + 2 + 5 = 8
les diviseurs propres de 8 sont 1, 2 et 4
u2 = 1 + 2 + 4 = 7
7 ne possède qu'un diviseur propre 1
u3 = 1

Sommaire

Cas particuliers

L'étude des suites aliquotes met en évidence les cas particuliers suivants

  • si u0 est un nombre premier alors u1 = 1 et la suite s'arrête.
  • si u0 est un nombre parfait alors la suite est constante
  • si u0 est un nombre amical, alors u1 est son nombre amical associé et la suite boucle sur ces deux valeurs
  • si u0 est un nombre sociable alors la suite boucle sur tous les nombres sociables associés à u0

Relation de récurrence

La suite est définie par la relation de récurrence suivante : pour tout entier n, si un est différent de 1

un + 1 = f(un)

où f est définie de la manière suivante : si N est un entier différent de 1 dont la décomposition en facteurs premiers est

N= \prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}
f(N)=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1} - N

On remarque que f est définie par

f(N) = s(N) − N

où s est la fonction diviseur d'ordre 1

Observations et conjectures

Toutes les suites aliquotes dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 100 ont été étudiées et s'arrêtent à 1, sauf les suites constantes commençant par les nombres parfaits 6 et 28. La suite la plus longue est alors obtenue pour un premier terme égal à 30.

Une conjecture importante, due à Catalan, stipule qu'une suite aliquote, ou bien se termine à 1, ou bien finit par être constante sur un nombre parfait, ou périodique sur une famille de nombres sociables.

Cette conjecture ne fait pas l'unanimité. En effet, parmi les suites dont le premier terme est un nombre inférieur ou égal à 1000, 5 suites n'ont toujours pas pu être explorées jusqu'à leur terme. Ce sont les suites commençant par 276, 552, 564, 660 et 966. Ces nombres sont appelés les«  cinq de Lehmer »[2]. Il existe de même 12 nombres (les douze de Godwin) compris entre 1000 et 2000 pour lesquels les suites aliquotes associées ne sont pas connues.

Il existe des suites aliquotes atteignant des termes astronomiques comme la suite démarrant à 3630 atteignant un nombre à 100 chiffres pour se terminer plus tard à 1[3]. Hendrick Lenstra a démontré que l'on pouvait toujours trouver une suite aliquote croissante sur n termes consécutifs, quelle que soit la valeur de n.

La quantité \frac{u_{n+1}}{u_n} a, elle aussi, été étudiée. La famille des \frac{f(N)}{N} n'est pas bornée mais Jean-Luc Garambois conjecture que la moyenne des \frac{f(N)}{N} converge vers(π2 − 6) / 6.

On peut prouver, grâce à la relation de récurrence, que la suite ne change de parité que si l'un des termes s'écrit a2 ou 2a2.

Bibliographie

  • Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, Nombres amiables et suites aliquotes

Notes et références

  1. ↑ Les diviseurs propres de l'entier naturel n non nul, sont les diviseurs positifs de n strictement inférieurs à n
  2. ↑ Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, Nombres amiables et suites aliquotes.
  3. ↑ (en) Manuel Benito, Wolfgang Creyaufmüller, Juan Varona et Paul Zimmermann , Aliquot sequence 3630 ends after reaching 100 digits
Ce document provient de « Suite aliquote ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Chaine aliquote de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Chaîne Aliquote — Suite aliquote En arithmétique, une suite aliquote est une suite d entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres[1] de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre.… …   Wikipédia en Français

  • Chaîne aliquote — Suite aliquote En arithmétique, une suite aliquote est une suite d entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des diviseurs propres[1] de son prédécesseur. Quand la suite atteint 1, elle s arrête car 1 ne possède pas de diviseur propre.… …   Wikipédia en Français

  • Nombre Sociable — En mathématiques, un nombre entier a est sociable d ordre n si sa suite aliquote est fermée et compte n maillons. La formule de construction d une chaîne aliquote est la suivante : où est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers… …   Wikipédia en Français

  • Nombre sociable — En mathématiques, un nombre entier a est sociable d ordre n si sa suite aliquote est fermée et compte n maillons. La formule de construction d une chaîne aliquote est la suivante : où est la fonction donnant la somme des diviseurs entiers… …   Wikipédia en Français

  • HÉMOGLOBINE — L’hémoglobine est la molécule d’importance vitale qui, chez les Vertébrés, achemine l’oxygène depuis les poumons, ou les branchies, jusqu’aux tissus, et en retour favorise le transport, par le sang, du gaz carbonique des tissus aux poumons, ou… …   Encyclopédie Universelle

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • THERMODYNAMIQUE - Histoire — Parmi les multiples formes de l’énergie, la chaleur est celle à laquelle les savants ont mis le plus de temps à donner un statut scientifique. Or toute discipline qui a pour objet l’étude d’une catégorie déterminée de phénomènes ne devient… …   Encyclopédie Universelle

  • Fullerène — Exemple de fullerène : C60 …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Matières De La Théorie Des Nombres — Article détaillé : cryptologie. . Sommaire 1 Facteur (mathématiques) 2 Fractions 3 Arithmétique modulaire 4 …   Wikipédia en Français

  • Liste des matieres de la theorie des nombres — Liste des matières de la théorie des nombres Article détaillé : cryptologie. . Sommaire 1 Facteur (mathématiques) 2 Fractions 3 Arithmétique modulaire 4 …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”