Algèbre de Hopf quasi-triangulaire

Algèbre de Hopf quasi-triangulaire: En mathématiques, une algèbre de Hopf $H$ est dite quasi-triangulaire s'il existe un élément inversible $R \in H \otimes H$ qui vérifie :

$\forall x \in H,\ \Delta^{op}(x)=R\Delta(x) R^{-1}$

$(1 \otimes \Delta)(R)=R_{13}R_{12}$

$(\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}R_{23}$

où :

$Δ$ est le coproduit de $H$

Si $\Delta(x)=\sum x_i^{(1)} \otimes x_i^{(2)}$ , alors $\Delta^{op}(x)=\sum x_i^{(2)} \otimes x_i^{(1)}$

Si $R=\sum a_i \otimes b_i$ , alors

$R_{12}=\sum a_i \otimes b_i \otimes 1$

$R_{13}=\sum a_i \otimes 1 \otimes b_i$

$R_{23}=\sum 1 \otimes a_i \otimes b_i$

Sommaire

1 Applications

1.1 Mécanique statistique

1.2 Algèbre et topologie

2 Voir aussi

3 Références

Applications

Mécanique statistique

À partir des relations précédente, on prouve que $R$ fournit une solution de l'equation de Yang-Baxter quantique :
$R 12 R 13 R 23 = R 23 R 13 R 12$
Algèbre et topologie

La donnée d'un algèbre de Hopf quasi-triangulaire permet de construire des représentations du groupe de tresse. Plus précisément, la catégorie des représentations d'une algèbre de Hopf quasi-triangulaire est une catégorie monoïdale tressée.

Voir aussi

algèbre de Hopf

algèbre de quasi-Hopf

algèbre de Lie

cohomologie des groupes de Lie

Références

Christian Kassel, Quantum Groups, Springer-Verlag, Vol. 155 (1995)

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