Catégorie des schémas

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Schéma (géométrie algébrique)

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En géométrie algébrique, un schéma est un espace localement annelé localement isomorphe à un schéma affine.

Un schéma affine est le spectre d'un anneau commutatif unitaire, muni de son faisceau structural.

Intuition

Un schéma est avant tout un objet géométrique.

Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique. À une variété algébrique sur un corps, la théorie des schémas ajoute des points qui ne sont pas nécessairement fermés (grosso modo, ce sont des points dont les coordonnées sont des variables).

En théorie des nombres, pour étudier les propriétés arithmétiques d'une variété algébrique V sur ℚ, il est utile de connaître son comportement "modulo p" pour tout nombre premier p. Pour ce faire, on essaie d'étendre V d'une manière raisonnable en un schéma sur l'anneau des entiers relatifs \mathbb{Z}. Ce schéma peut être vu comme une famille de variétés algébriques {V, Vp} où Vp est une variété algébrique sur le corps fini premier \mathbb F_p.

Histoire

La notion de schéma est due à Alexander Grothendieck, qui l'a inventée dans le but de démontrer les conjectures de Weil (qui sont maintenant un théorème, démontré par Pierre Deligne) vers l'année 1958. La théorie des schémas est développée de la façon la plus belle et la plus complète dans le grand traité de fondements, inachevé (mais très complet !), les Éléments de géométrie algébrique, plus connu des mathématiciens sous le nom des EGA.

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