Carte locale

Carte locale
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En mathématiques, plus précisément en topologie et en géométrie différentielle, une carte locale d'une variété topologique ou d'une variété différentielle est une paramétrisation d'un ouvert de cette variété par un ouvert d'un espace de Banach. Un atlas est une famille de cartes locales compatibles qui recouvrent la variété.

Définition

Soit E un espace de Banach.

Une carte locale d'un espace topologique X sur E est la donnée d'un couple (U,φ) où :

  • U est un ouvert de X.
  • \varphi est une application de U dans E telle que \varphi:U\rightarrow \varphi(U) soit un homéomorphisme.

L'application réciproque \varphi^{- 1}:\varphi(U)\rightarrow U est alors appelée paramétrisation de U, et les coordonnées locales des points de U sont leurs images par φ.

Compatibilité

Deux cartes locales sur E, (U1,φ1) et (U2,φ2) sont dites compatibles lorsque :

  1. U_1 \cap U_2 \not= \empty,
  2. l'application dite de changement de cartes \varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\rightarrow \varphi_2(U_1\cap U_2) est un difféomorphisme.

Exemple

Appliquons une projection stéréographique à la sphère S3 privée d'un point noté N (N comme "Nord"). On supposera que ses coordonnées cartésiennes (dans un repère orthonormé convenablement choisi) sont (0,0,1).

  • \varphi:S^3 - \{ N \} \rightarrow \R^2 : (x,y,z) \longmapsto \left( \frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z} \right) est une carte locale de S3.
  • L'application réciproque :
\varphi^{- 1}:\R^2 \rightarrow S^3 - \{ N \} \quad : (X,Y) \longmapsto \left( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{-1+X^2+Y^2}{1+X^2+Y^2} \right)

est donc le paramétrage de S3 − {N} "déduit" de φ.

  • Cette carte locale est compatible avec la carte locale
\psi:S^3 - \{ S \} \rightarrow \R^2 \quad  : (x,y,z) \longmapsto \left( \frac{x}{1+z},\frac{y}{1+z} \right)

(avec bien sûr S le point diamétralement opposé à N qui a donc comme coordonnées cartésiennes dans le même repère, (0,0,-1)).

  • Le paramétrage de \R^2 "déduit" de ψ est l'application :
\psi^{-1}: \R^2 \rightarrow S^3 - \{ S \} \quad  : (X,Y) \longmapsto \left( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{1-X^2-Y^2}{1+X^2+Y^2}\right)~.
  • L'application correspondante de changement de cartes est :
\psi \circ \varphi^{-1}: \R^2 - \{(0,0)\} \rightarrow \R^2 - \{(0,0) \}:(X,Y) \longmapsto \left( \frac{X}{X^2+Y^2},\frac{Y}{X^2+Y^2}\right)~.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Carte locale de Wikipédia en français (auteurs)

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