Carte Locale

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Carte locale

Sommaire

Définition

Soit E un espace de Banach.

Une carte locale d'un espace topologique X sur E est la donnée d'un couple (U,\varphi) où :

  • U est un ouvert de X.
  • \varphi est une application de U dans E telle que \varphi:U\rightarrow \varphi(U) soit un homéomorphisme.

Remarque :

  • L'application réciproque \varphi^{- 1}:\varphi(U)\rightarrow U est appelée paramétrisation de U.

Propriétés

  • Deux cartes locales sur E, (U_1,\varphi_1) et (U_2,\varphi_2) sont dites compatibles lorsque :
1) U_1 \cap U_2 \not= \empty.
2) l'application dite de changement de cartes \varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\rightarrow \varphi_2(U_1\cap U_2) est un difféomorphisme.

Exemples

Considérons la sphère S3 privé d'un point noté N (N comme "Nord"). On supposera que ses coordonnées cartésiennes (dans un repère orthonormé convenablement choisi) sont (0,0,1).

a) \varphi:S^3 - \{ N \} \rightarrow \R^2 : (x,y,z) \longmapsto ( \frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}) est une carte locale de S3.


b) L'application réciproque:
\varphi^{- 1}:\R^2 \rightarrow S^3 - \{ N \}: (X,Y) \longmapsto ( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{-1+X^2+Y^2}{1+X^2+Y^2}) est donc le paramétrage de S3 − {N} "déduit" de \varphi.


c) Cette carte locale est compatible avec la carte locale
\psi:S^3 - \{ S \} \rightarrow \R^2 : (x,y,z) \longmapsto ( \frac{x}{1+z},\frac{y}{1+z}) (avec bien sûr S le point diamétralement opposé à N qui a donc comme coordonnées cartésiennes dans le même repère, (0,0,-1)).


d) Le paramétrage de \R^2 "déduit" de ψ est l'application :
\psi^{-1}: \R^2 \rightarrow S^3 - \{ S \} : (X,Y) \longmapsto ( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{1-X^2-Y^2}{1+X^2+Y^2}) .


e) L'application de changement de cartes correspondant :
\psi \circ \varphi^{-1}: \R^2 - \{(0,0)\} \rightarrow \R^2 - \{(0,0) \}:(X,Y) \longmapsto ( \frac{X}{X^2+Y^2},\frac{Y}{X^2+Y^2}) .

Voir

Références

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Carte Locale de Wikipédia en français (auteurs)

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