Carte Locale

Carte locale

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
- 2.1 Exemples
  - 2.1.1 Voir
  - 2.1.2 Références

Définition

Soit E un espace de Banach.

Une carte locale d'un espace topologique X sur E est la donnée d'un couple $(U,\varphi)$ où :

$U$ est un ouvert de X.
$\varphi$ est une application de U dans E telle que $\varphi:U\rightarrow \varphi(U)$ soit un homéomorphisme.

Remarque :

L'application réciproque $\varphi^{- 1}:\varphi(U)\rightarrow U$ est appelée paramétrisation de U.

Propriétés

Deux cartes locales sur E, $(U_1,\varphi_1)$ et $(U_2,\varphi_2)$ sont dites compatibles lorsque :

1) $U_1 \cap U_2 \not= \empty$ .

2) l'application dite de changement de cartes $\varphi_2 \circ \varphi_1^{-1}:\varphi_1(U_1\cap U_2)\rightarrow \varphi_2(U_1\cap U_2)$ est un difféomorphisme.

Exemples

La projection stéréographique :

Considérons la sphère $S 3$ privé d'un point noté N (N comme "Nord"). On supposera que ses coordonnées cartésiennes (dans un repère orthonormé convenablement choisi) sont (0,0,1).

a) $\varphi:S^3 - \{ N \} \rightarrow \R^2$ : $(x,y,z) \longmapsto ( \frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z})$ est une carte locale de

S 3

b) L'application réciproque:

$\varphi^{- 1}:\R^2 \rightarrow S^3 - \{ N \}$ : $(X,Y) \longmapsto ( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{-1+X^2+Y^2}{1+X^2+Y^2})$ est donc le paramétrage de

S 3 - {N}

"déduit" de $\varphi$ .

c) Cette carte locale est compatible avec la carte locale

$\psi:S^3 - \{ S \} \rightarrow \R^2$ : $(x,y,z) \longmapsto ( \frac{x}{1+z},\frac{y}{1+z})$ (avec bien sûr S le point diamétralement opposé à N qui a donc comme coordonnées cartésiennes dans le même repère, (0,0,-1)).

d) Le paramétrage de $\R^2$ "déduit" de

ψ

est l'application :

$\psi^{-1}: \R^2 \rightarrow S^3 - \{ S \}$ : $(X,Y) \longmapsto ( \frac{2X}{1+X^2+Y^2},\frac{2Y}{1+X^2+Y^2},\frac{1-X^2-Y^2}{1+X^2+Y^2})$ .

e) L'application de changement de cartes correspondant :

$\psi \circ \varphi^{-1}: \R^2 - \{(0,0)\} \rightarrow \R^2 - \{(0,0) \}:(X,Y) \longmapsto ( \frac{X}{X^2+Y^2},\frac{Y}{X^2+Y^2})$ .

Voir

Références

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Carte locale ».

Catégorie : Géométrie différentielle

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Carte Locale de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Carte locale — Pour les articles homonymes, voir Carte. En mathématiques, plus précisément en topologie et en géométrie différentielle, une carte locale d une variété topologique ou d une variété différentielle est une paramétrisation d un ouvert de cette… … Wikipédia en Français
Carte — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Carte », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Le mot « carte » peut désigner… … Wikipédia en Français
Carte Postale — Pour les articles homonymes, voir Carte postale (homonymie). Une carte postale anglaise de 1910 … Wikipédia en Français
Carte Picturale — Les cartes picturales sont une catégorie de la cartographie. On les appelle aussi : cartes illustrées, cartes panoramiques, cartes à vue de vol d’oiseau et cartes géopicturales parmi autres. Cartes geopicturales récentes Par contraste avec… … Wikipédia en Français
Carte geopicturale — Carte picturale Les cartes picturales sont une catégorie de la cartographie. On les appelle aussi : cartes illustrées, cartes panoramiques, cartes à vue de vol d’oiseau et cartes géopicturales parmi autres. Cartes geopicturales récentes Par… … Wikipédia en Français
Carte panoramique — Carte picturale Les cartes picturales sont une catégorie de la cartographie. On les appelle aussi : cartes illustrées, cartes panoramiques, cartes à vue de vol d’oiseau et cartes géopicturales parmi autres. Cartes geopicturales récentes Par… … Wikipédia en Français
Carte à vue de vol d'oiseau — Carte picturale Les cartes picturales sont une catégorie de la cartographie. On les appelle aussi : cartes illustrées, cartes panoramiques, cartes à vue de vol d’oiseau et cartes géopicturales parmi autres. Cartes geopicturales récentes Par… … Wikipédia en Français
Carte postale — Pour les articles homonymes, voir Carte postale (homonymie) et Carte. Une carte postale anglaise de 1910 … Wikipédia en Français
Carte accélératrice — Accélération matérielle L accélération matérielle consiste à confier une fonction spécifique effectuée par le processeur à un circuit intégré dédié qui effectuera cette fonction de façon plus efficace. Sommaire 1 Principe général 2 Types d… … Wikipédia en Français
Carte accélérée — Accélération matérielle L accélération matérielle consiste à confier une fonction spécifique effectuée par le processeur à un circuit intégré dédié qui effectuera cette fonction de façon plus efficace. Sommaire 1 Principe général 2 Types d… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Carte Locale

Carte locale

Sommaire

Définition