- Carré magique d'inverses de nombres premiers
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En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… Les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :
1/7 = 0,1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0,2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0,4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0,5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0,7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0,8 5 7 1 4 2…Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne donnera la somme 1+4+2+8+5+7, ou 27, et seulement légèrement moins évident que chaque colonne donnera aussi le même nombre, et par conséquent, nous avons un carré magique :
1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2Néanmoins, aucune diagonale ne donnera 27, mais tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique. Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :
01/19 = 0,0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1…
02/19 = 0,1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2…
03/19 = 0,1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3…
04/19 = 0,2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4…
05/19 = 0,2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5…
06/19 = 0,3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6…
07/19 = 0,3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7…
08/19 = 0,4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8…
09/19 = 0,4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9…
10/19 = 0,5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0…
11/19 = 0,5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1…
12/19 = 0,6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2…
13/19 = 0,6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3…
14/19 = 0,7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4…
15/19 = 0,7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5…
16/19 = 0,8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6…
17/19 = 0,8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7…
18/19 = 0,9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8…Le même phénomène apparaît avec d'autres nombres premiers dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :
Nombre premier Base Total 19 10 81 53 12 286 53 34 858 59 2 29 67 2 33 83 2 41 89 19 792 167 68 5 561 199 41 3 960 199 150 14 751 211 2 105 223 3 222 293 147 21 316 307 5 612 383 10 1 719 389 360 69 646 397 5 792 421 338 70 770 487 6 1 215 503 420 105 169 587 368 107 531 593 3 592 631 87 27 090 677 407 137 228 757 759 286 524 787 13 4 716 811 3 810 977 1 222 595 848 1 033 11 5 160 1 187 135 79 462 1 307 5 2 612 1 499 11 7 490 1 877 19 16 884 1 933 146 140 070 2 011 26 25 125 2 027 2 1 013 2 141 63 66 340 2 539 2 1 269 3 187 97 152 928 3 373 11 16 860 3 659 126 228 625 3 947 35 67 082 4 261 2 2 130 4 813 2 2 406 5 647 75 208 902 6 113 3 6 112 6 277 2 3 138 7 283 2 3 641 8 387 2 4 193
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