Carré magique d'inverses de nombres premiers

Carré magique d'inverses de nombres premiers

En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… Les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0,1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0,2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0,4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0,5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0,7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0,8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne donnera la somme 1+4+2+8+5+7, ou 27, et seulement légèrement moins évident que chaque colonne donnera aussi le même nombre, et par conséquent, nous avons un carré magique :

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

Néanmoins, aucune diagonale ne donnera 27, mais tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique. Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :

01/19 = 0,0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1…
02/19 = 0,1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2…
03/19 = 0,1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3…
04/19 = 0,2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4…
05/19 = 0,2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5…
06/19 = 0,3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6…
07/19 = 0,3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7…
08/19 = 0,4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8…
09/19 = 0,4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9…
10/19 = 0,5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0…
11/19 = 0,5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1…
12/19 = 0,6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2…
13/19 = 0,6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3…
14/19 = 0,7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4…
15/19 = 0,7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5…
16/19 = 0,8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6…
17/19 = 0,8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7…
18/19 = 0,9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8…

Le même phénomène apparaît avec d'autres nombres premiers dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :

Nombre premier Base Total
19 10 81
53 12 286
53 34 858
59 2 29
67 2 33
83 2 41
89 19 792
167 68 5 561
199 41 3 960
199 150 14 751
211 2 105
223 3 222
293 147 21 316
307 5 612
383 10 1 719
389 360 69 646
397 5 792
421 338 70 770
487 6 1 215
503 420 105 169
587 368 107 531
593 3 592
631 87 27 090
677 407 137 228
757 759 286 524
787 13 4 716
811 3 810
977 1 222 595 848
1 033 11 5 160
1 187 135 79 462
1 307 5 2 612
1 499 11 7 490
1 877 19 16 884
1 933 146 140 070
2 011 26 25 125
2 027 2 1 013
2 141 63 66 340
2 539 2 1 269
3 187 97 152 928
3 373 11 16 860
3 659 126 228 625
3 947 35 67 082
4 261 2 2 130
4 813 2 2 406
5 647 75 208 902
6 113 3 6 112
6 277 2 3 138
7 283 2 3 641
8 387 2 4 193

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Carré magique d'inverses de nombres premiers de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Carre magique d'inverses de nombres premiers — Carré magique d inverses de nombres premiers En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois  …   Wikipédia en Français

  • Carré Magique D'inverses De Nombres Premiers — En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333... Néanmoins, la période répétitive… …   Wikipédia en Français

  • Carré magique (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Carré magique. un exemple de carré magique. En mathématiques, un carré magique d ordre n est composé de …   Wikipédia en Français

  • Carré magique multiplicatif — En mathématiques, un carré magique multiplicatif d ordre n est composé de n2 nombres entiers généralement distincts, écrits sous la forme d un tableau carré. Ces nombres sont disposés de manière à ce que leurs produits sur chaque rangée, sur… …   Wikipédia en Français

  • Carré magique plus que parfait — En mathématiques, un carré magique plus que parfait est un carré magique contenant les nombres 1 à n2 avec deux propriétés supplémentaires (où n désigne la taille du carré): La somme sur chaque sous carré de taille 2 x 2 vaut 2S où S = n2 + 1. La …   Wikipédia en Français

  • Carré magique additif-multiplicatif — Un carré magique additif multiplicatif est un carré magique dont la somme et le produit selon chaque rangée, chaque colonne et chaque diagonale principale est un nombre constant[1]. 46 81 117 102 15 76 200 203 19 6 …   Wikipédia en Français

  • Liste Des Matières De La Théorie Des Nombres — Article détaillé : cryptologie. . Sommaire 1 Facteur (mathématiques) 2 Fractions 3 Arithmétique modulaire 4 …   Wikipédia en Français

  • Liste des matieres de la theorie des nombres — Liste des matières de la théorie des nombres Article détaillé : cryptologie. . Sommaire 1 Facteur (mathématiques) 2 Fractions 3 Arithmétique modulaire 4 …   Wikipédia en Français

  • Liste des matières de la théorie des nombres — Article détaillé : cryptologie. . Sommaire 1 Facteur (mathématiques) 2 Fractions 3 Arithmétique modulaire 4 Test de primalité e …   Wikipédia en Français

  • Carré diabolique — En mathématiques, un carré diabolique, carré panmagique ou carré pandiagonal est un carré magique dans lequel la même constante magique peut être trouvée non seulement dans les lignes, les colonnes et les diagonales, mais aussi dans une variété… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”