Caractéristique d'un anneau

Caractéristique d'un anneau
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Caractéristique.

En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative, si cet ordre est fini.

On note, pour un anneau unitaire (A,+,×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ».

La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier naturel non-nul n tel que

{\ n.1_A~=~\underbrace{1_A+1_A+\cdots+1_A }_{n\; termes}~=~0_A}~.

Si un tel entier n'existe pas (autrement dit si 1A est d'ordre infini) on dit que la caractéristique est nulle.

L'homomorphisme de Z dans A

Il existe un unique homomorphisme d'anneaux unitaires f de \scriptstyle\Z dans A ( \scriptstyle\Z est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un nombre entier strictement positif, on a :

f(n)=1_A+\cdots+1_A\,,

où 1A est répété n fois. Comme \scriptstyle\Z est un anneau euclidien, le noyau de f est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique nombre entier positif ou nul c tel que le noyau de f soit l'idéal \scriptstyle c\Z.

Propriétés sur les anneaux

  • La caractéristique d'un anneau A est l'unique entier c positif ou nul tel que \scriptstyle\Z/c\Z soit un sous-anneau unitaire de A.

Ceci résulte de la définition ci-dessus et du théorème de factorisation. On en déduit en particulier :

  • Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.
  • Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont \scriptstyle\Z est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis.
C'est le cas du corps \scriptstyle\C des nombres complexes et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps \scriptstyle\R des nombres réels ou le corps \scriptstyle\Q des nombres rationnels.
En effet, l'homomorphisme \scriptstyle\Z\to A est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.
C'est par exemple le cas de \scriptstyle\R (et ses sous-anneaux unitaires).
En effet, si \scriptstyle\Z/c\Z est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc c est nul ou premier.
  • Pour tout homomorphisme d'anneaux unitaires g:A→B, la caractéristique de B divise celle de A.

En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires \scriptstyle\Z\to B est l'homomorphisme composé g o f. Si p et q sont les caractéristiques respectives de A et de B, le noyau de g o f est donc \scriptstyle q\Z, or g (f (p))=g(0A)=0B, si bien que \scriptstyle q\Z contient p, autrement dit q divise p.

  • Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x+y)p=xp+yp. L'application qui à x associe xp est un endomorphisme d'anneau appelé endomorphisme de Frobenius.

Le résultat découle immédiatement de la formule du binôme de Newton et de ce que p divise les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.

Propriétés sur les corps

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps K est soit 0, soit un nombre premier p. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique p non nulle, K contient une copie de \scriptstyle\Z/p\Z qui (puisqu'ici p est premier) est un corps : c'est l'unique corps fini Fp à p éléments.

  • Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de \scriptstyle\Q.

En effet, un tel corps K contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de \scriptstyle\Z. Comme K est un corps, il contient donc le corps des fractions de \scriptstyle\Z, à savoir le corps \scriptstyle\Q des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son corps premier, isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini Fp ou au corps \scriptstyle\Q.

  • Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.

Si K est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier p et K contient une copie du corps Fp. De fait, K est un espace vectoriel sur Fp. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit K est une extension finie de Fp).

  • Pour tout nombre premier p, il existe des corps infinis de caractéristique p  :

par exemple le corps des fractions rationnelles sur Fp ou la clôture algébrique de Fp.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Caractéristique d'un anneau de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Caracteristique d'un anneau — Caractéristique d un anneau Pour les articles homonymes, voir Caractéristique. En algèbre, la caractéristique d un anneau unitaire A est par définition l ordre pour la loi additive de l élément neutre de la loi multiplicative. On note, pour un… …   Wikipédia en Français

  • Caractéristique D'un Anneau — Pour les articles homonymes, voir Caractéristique. En algèbre, la caractéristique d un anneau unitaire A est par définition l ordre pour la loi additive de l élément neutre de la loi multiplicative. On note, pour un anneau unitaire[1] …   Wikipédia en Français

  • Caractéristique d'un anneau unitaire — ● Caractéristique d un anneau unitaire plus petit entier naturel n tel que ne = 0, e étant élément unité de l anneau et 0 élément neutre. (Un anneau de caractéristique n est isomorphe à l anneau Z°nZ. L anneau Z est de caractéristique nulle.) …   Encyclopédie Universelle

  • Caractéristique d'un corps — Caractéristique d un anneau Pour les articles homonymes, voir Caractéristique. En algèbre, la caractéristique d un anneau unitaire A est par définition l ordre pour la loi additive de l élément neutre de la loi multiplicative. On note, pour un… …   Wikipédia en Français

  • caractéristique — [ karakteristik ] adj. et n. f. • 1550; gr. kharaktêristikos I ♦ Adj. 1 ♦ Qui constitue un élément distinctif reconnaissable. Différence, élément, marque, propriété, signe, trait caractéristique. ⇒ déterminant, distinctif, essentiel, particulier …   Encyclopédie Universelle

  • Anneau Z/nZ — En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, Z/nZ est un cas particulier d anneau. Tout anneau unitaire contient soit un sous anneau isomorphe à Z/nZ soit à Z l anneau des entiers. Cet anneau joue un rôle particulier en arithmétique, il …   Wikipédia en Français

  • Anneau (Mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Anneau. En algèbre générale, un anneau est une structure algébrique sur laquelle deux opérations satisfont certaines des propriétés de l addition et la multiplication des nombres. Sommaire 1 Aspect historique …   Wikipédia en Français

  • Caracteristique — Caractéristique Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Caracteristique (homonymie) — Caractéristique (homonymie) Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. De manière générale, le terme caractéristique désigne un élément qui permet de distinguer des objets ou des êtres de nature… …   Wikipédia en Français

  • Caractéristique (Homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. De manière générale, le terme caractéristique désigne un élément qui permet de distinguer des objets ou des êtres de nature semblable. En mathématiques,… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”