Bruit Blanc

Bruit Blanc

Bruit blanc

Échantillon de bruit blanc

Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.

On parle souvent de bruit blanc gaussien, il s'agit d'un bruit blanc qui suit une loi normale de moyenne et variance données.

En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz puisque l'oreille humaine n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (la sensibilité varie toutefois selon les personnes). L'impression obtenue est celle d'un souffle. Le son produit lors de l'effet de « neige » sur un téléviseur déréglé est un bon exemple de bruit blanc.

Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la longueur d'onde ; en ordonnée, l'intensité

Sommaire

Bruit blanc sonore

Le bruit blanc, à l'instar de la lumière blanche qui est un mélange de toutes les couleurs, est composé de toutes les fréquences, chaque fréquence ayant la même énergie. Le nombre de fréquences doublant d'une octave à l'autre, l'énergie croît linéairement de 3 dB par octave [1].

Notion de bruit blanc

Par analogie avec la lumière blanche qui contient toutes les fréquences lumineuses avec la même intensité, un bruit blanc est un processus stochastique qui possède la même densité spectrale de puissance à toutes les fréquences. Ceci correspond à une autocorrélation nulle en tout point sauf à l'origine : le processus est décorrélé. S'il est gaussien, cette décorrélation entraîne l'indépendance.

La décorrélation conduit à une puissance moyenne ou variance infinie. Le processus correspondant ne peut donc exister mais c'est une approximation commode pour le calcul de la réponse d'un système peu amorti.

Plus concrètement, un bruit blanc filtré à la fréquence fc correspond à un processus échantillonné à 1 / 2fc, ce résultat étant utilisé dans les simulations.

Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles

Approximation dune excitation aleatoire par un bruit blanc.png

En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe, infinie (et donc une puissance infinie).

Cette solution est néanmoins intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

Bruit blanc et simulations

Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S0 échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à 1/2T (voir Théorème de Shannon). C'est un bruit blanc filtré qui possède une variance finie. Celle-ci s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ2 = S0/2T.

Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard qui correspond à une densité de probabilité uniforme sur un intervalle de largeur unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.

Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice

X = A \cos \Phi \,

Φ est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.

A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition s'écrit, σ2 étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :

{F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :

a = \sigma \sqrt{-2 \ln (1-r)}

À partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier, en la multipliant par la racine carrée de la densité spectrale et en inversant la transformée.

Bruit blanc et statistique

Dans l'étude des séries temporelles en statistique, il est souvent utile de définir un processus de bruit blanc également dans le domaine temporel (alors que les définitions plus haut sont dans le domaine des fréquences). Les définitions présentées ici sont faites pour des processus à temps discret et à valeurs continues. Selon Hamilton (1994, p 47)[2] :


Définition — Un processus εt est qualifié de bruit blanc si :

  •  E[\epsilon_t]=0 \,
  •  E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2
  •  E[\epsilon_t \epsilon_{\tau}]=0  \qquad \forall t \ne \tau

Un processus de bruit blanc est donc par définition stationnaire de second ordre. La troisième condition, E[εtετ] = 0, (ou \text{Cov}[\epsilon_t, \, \epsilon_{\tau}] = 0), signifie que l'autocovariance est nulle.

Définition — Un processus εt est qualifié de bruit blanc indépendant si :

  •  E[\epsilon_t]=0 \,
  •  E[\epsilon_{t}^{2}]=\sigma ^2
  •  \epsilon_t\, et  \epsilon_{\tau} \, sont indépendants  \forall t \ne \tau

On remarquera que la troisième condition de la définition du bruit blanc indépendant, celle d'indépendance, implique la condition d'autocovariance nulle du bruit blanc, tandis que la réciproque n'est pas forcément vraie. Cette deuxième définition est donc plus stricte que la première.

Définition — Un processus εt est qualifié de bruit blanc gaussien si

  • εt est un bruit blanc indépendant
  •  \epsilon_t  \sim \mathcal {N} (0,\sigma ^2) \,

Références

  1. Christian Hugonnet et Pierre Walder, Théorie et pratique de la prise de son stéréophonique, éditions Eyrolles , Paris, deuxième édition 1998, p. 32
  2. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994

Voir aussi

  • Portail de l’électricité et de l’électronique Portail de l’électricité et de l’électronique
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Bruit blanc ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Bruit Blanc de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Bruit blanc — ● Bruit blanc bruit dont la densité d énergie spectrale est constante, indépendante de la fréquence …   Encyclopédie Universelle

  • Bruit blanc — Pour les articles homonymes, voir Bruit (homonymie). Échantillon de bruit blanc Un bruit blanc est une réalisation d un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même p …   Wikipédia en Français

  • bruit blanc — baltasis triukšmas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. white noise vok. weißes Geräusch, n; weißes Rauschen, n; Weißgeräusch, n rus. белый шум, m pranc. bruit blanc, m …   Automatikos terminų žodynas

  • bruit blanc — baltasis triukšmas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Triukšmas, kurio galios spektrinis tankis visoje dažnių srityje yra vienodas. atitikmenys: angl. white noise vok. weißes Rauschen, n; Weißgeräusch, n rus. белый шум, m …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • bruit blanc — baltasis triukšmas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. white noise vok. weißes Rauschen, n; Weißgeräusch, n rus. белый шум, m pranc. bruit blanc, m …   Fizikos terminų žodynas

  • générateur de bruit blanc — baltojo triukšmo generatorius statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. white noise generator vok. Weißgeräuschgeneretor, m rus. генератор белого шума, m pranc. générateur de bruit blanc, m …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • BRUIT — Le bruit provoque, chez la plupart des gens, une sensation désagréable. Il s’agit d’un ennemi à combattre. Pourtant, sur le plan scientifique, il possède une définition très précise et représente un phénomène qui n’occasionne pas de gêne… …   Encyclopédie Universelle

  • BRUIT DE FOND — En matière de transmission, on appelle bruit l’ensemble des signaux nuisibles qui se superposent au signal utile en un point quelconque d’une chaîne de mesure ou d’un système de transmission. Le signal utile représente l’information désirée alors …   Encyclopédie Universelle

  • Bruit Thermique — Le bruit thermique, également nommé bruit de résistance, ou bruit Johnson ou bruit de Johnson Nyquist est le bruit généré par l agitation thermique des porteurs de charges, c est à dire des électrons dans une résistance électrique en équilibre… …   Wikipédia en Français

  • Bruit De Mesure — Une mesure est une opération qui permet d enregistrer des données, relatives à un phénomène physique. Dans l idéal, on obtiendrait une mesure correspondant directement aux quantités pertinentes que l on cherche à quantifier. Mais, dans la réalité …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”