Bornitude

Il suffit de montrer qu'on peut trouver une partie de qui ne possède pas de borne supérieure.

On considère le sous-ensemble : et on montre que A ne possède pas de borne supérieure.

On remarque d'abord que tout rationnel b positif dont le carré est supérieur à 2 est un majorant de A car a² < 2 < b² conduit à a < b.

On suppose ensuite l'existence d'une borne supérieure b et on montre l'absurdité de cette supposition. Puisque 1 est élément de A, on sait que b est plus grand que 1. En comparant b² à 2, il n'existe que 3 possibilités

1. b² = 2 (impossible car b est un rationnel et que √2 n'est pas rationnel)
2. b² > 2
3. b² < 2

Pour montrer l'impossibilité du cas 2, il suffit d'exhiber,dans ce cas, un rationnel plus petit que b mais dont le carré est plus grand que 2, ce qui prouvera que b n'est pas le plus petit des majorants de A. La méthode de Héron permet d'exhiber ce rationnel :

Pour montrer l'impossibilité du cas 3, il suffit d'exhiber, dans ce cas, un rationnel plus grand que b et dont le carré est plus petit que 2 ce qui prouvera que b n'est pas un majorant de A. Cette même méthode de Héron permet d'exhiber ce rationnel :

Une borne supérieure de A aurait alors un carré qui ne serait ni inférieur à 2, ni supérieur à 2 ni égal à 2. Ce qui est absurde donc A ne possède pas de borne supérieure.