- Théorème de Schur-Zassenhaus
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Le théorème de Schur-Zassenhaus est un théorème de mathématiques, et plus particulièrement de théorie des groupes, qu'on peut énoncer comme suit : si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall distingué de G, alors H admet un complément dans G (c'est-à-dire qu'il existe un sous-groupe K de G tel que G = HK et H ⋂ K = 1)[1].
Ce théorème, démontré par Schur[2] dans le cas particulier où H est cyclique[3], fut généralisé comme ci-dessus par Zassenhaus en 1937[4].
On prouve par des moyens relativement élémentaires que si les hypothèses du théorème général sont satisfaites et qu'un au moins des deux groupes H et G/H est résoluble, tous les compléments de H dans G sont conjugués dans G[5]. En fait, puisque H est un sous-groupe de Hall de G, les ordres de G et de G/H sont premiers entre eux, donc un au moins de ces ordres est impair, donc il résulte du théorème de Feit et Thompson qu'un au moins des deux groupes H et G/H est résoluble. On peut donc éliminer l'hypothèse supplémentaire et énoncer le théorème suivant (que la plupart des mathématiciens admettent de confiance, car rares sont ceux qui ont lu une démonstration du théorème de Feit et Thompson) : si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall distingué de G, tous les compléments de H dans G sont conjugués dans G.
Notes et références
- Pour une démonstration, voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, 9.3.6, p. 224.
- J. Schur, « Untersuchungen über die Darstellungen der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, 132 (1907), 84-137. Référence donnée par H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, pp. 73 et 378.
- J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage 1999, p. 190, qui date la publication de Schur de 1904.
- H. J. Zassenhaus, Lehrbuch der Gruppentheorie, Leipzig, 1937. Référence donnée par H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, pp. 73 et 374. Voir la traduction anglaise du livre de Zassenhaus : The Theory of Groups, réimpr. Dover, 1999, ch. IV, théor. 25, p. 162.
- Pour une démonstration, voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, 9.3.9, p. 227.
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