Théorème de Slutsky

Théorème de Slutsky

En probabilités, le théorème de Slutsky[1] étend certaines propriétés algébriques de la convergence des suites numériques à la convergence des suites de variables aléatoires.

Le théorème porte le nom d'Eugen Slutsky[2]. Le théorème de Slutsky est aussi attribué à Harald Cramér[3].

Sommaire

Énoncé

{Xn}, {Yn} sont des suites de nombres, vecteurs ou matrices aléatoires.

Théorème de Slutsky — Si Xn converge en loi vers X, et si Yn converge en probabilité vers une constante c, alors

  • X_n + Y_n \ \xrightarrow{d}\ X + c ;
  • Y_nX_n \ \xrightarrow{d}\ cX ;
  • Y_n^{-1}X_n \ \xrightarrow{d}\ c^{-1}X,   dès que c est inversible,

où \xrightarrow{d} dénote la convergence en loi.

Notes:

  1. Dans l'énoncé du théorème, l'hypothèse “Yn converge en probabilité vers une constante c” peut être remplacée par “Yn converge en loi vers une constante c” — ces deux hypothèses sont en fait équivalentes.
  2. L'hypothèse selon laquelle Yn converge vers une constante est importante — si la limite était une variable non-dégénérée, le théorème ne serait plus valide.
  3. Le théorème reste valide lorsqu'on remplace toutes les convergences en loi par des convergences en probabilité.
  4. le deuxième point n'a pas de sens pour des vecteurs aléatoires, sauf
    1. pour des vecteurs de dimension 1,
    2. pour des matrices (vues comme vecteurs), ou pour des vecteurs, lorsqu'ils sont identifiés à des matrices lignes ou colonnes.
  5. le troisième point n'a pas de sens pour des vecteurs aléatoires.

A voir

Pages liées

Bibliographie

  • (en) G. Grimmett et D. Stirzaker, Probability and Random Processes, Oxford, 2001, 3e éd. 
  • (en) Allan Gut, Probability: a graduate course, Springer-Verlag, 2005 (ISBN 0-387-22833-0) 
  • (de) E. Slutsky, Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte, vol. 5, 1925, 3–89 p. 

Notes

  1. ↑ Grimmett 2001, Exercise 7.2.5
  2. ↑ Slutsky 1925
  3. ↑ Si l'on en croit la remarque 11.1 (page 249) du livre d'Allan Gut, A Graduate Course in Probability, Springer Verlag, 2005, le théorème de Slutsky est aussi appelé théorème de Cramér.



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