Théorème de Lie-Kolchin

Théorème de Lie-Kolchin

Le Théorème de Lie-Kolchin est un résultat de trigonalisabilité des sous-groupes connexes et résolubles du groupe des matrices complexes inversibles GL_n(\mathbb{C}).


Définition —  On dit que E \subset M_n(\mathbb{C}) est trigonalisable s'il existe une base commune de trigonalisation à tout élément de E.

Théorème de Lie-Kolchin —  Tout sous groupe connexe résoluble de GL_n(\mathbb{C}) est trigonalisable.


La preuve repose sur les deux lemmes suivants :

Lemme 1 —  Soit (M_i)_{i\in I} une famille de matrices qui commutent de M_n(\mathbb{C}) indexée par I un ensemble quelconque, alors G = \{M_i \ /\ i \in I\} est trigonalisable.

Preuve du lemme 1

On raisonne par récurrence sur la dimension de l'espace : n.

  • Pour n = 1, le résultat est trivial.
  • Soit n\geq 1 et supposons le résultat vrai pour tout k\in\{1,\dots,n\}.

Soit G une famille de matrices qui commutent de GL_{n+1}(\mathbb{C}). Si toutes les matrices de G sont des matrices d'homothéties, le résultat est vrai. Supposons alors que ce ne soit pas le cas. Soit M \in G qui ne soit pas une matrice d'homothétie. Notons μ une valeur propre associée à M (toute matrice complexe admet une valeur propre car est trigonalisable).

Notons V = ker(M − μId) : on a V\neq \mathbb{C}^{n+1} car M n'est pas une matrice d'homothétie. Notons H un supplémentaire de V dans \mathbb{C}^{n+1} : on a \mathbb{C}^{n+1} = V \oplus H avec
\left\{\begin{array}{c}\dim(V) <n+1\\\dim(H)<n+1 \end{array}\right..

Notons d la dimension de V.

Soit \mathcal{B} = (e_1,\dots,e_{n+1}) une base de \mathbb{C}^{n+1} adaptée à la décomposition en somme directe V \oplus H. Comme tous les éléments de G commutent, V est G-stable.

Ainsi dans la base \mathcal{B} toute matrice N de G s'écrit :

\begin{bmatrix} v_N && *\\ 0 && h_N \end{bmatrix},
avec v_N\in\mathcal M_d(\mathbb C) et h_N\in\mathcal M_{n+1-d}(\mathbb C).

On vérifie que pour N' une matrice de G telle que N' = \begin{bmatrix} v_{N'} && *\\ 0 && h_{N'} \end{bmatrix},

NN' = N'N entraine que
\left\{\begin{array}{c}v_Nv_{N'}=v_{N'}v_N\\ h_Nh_{N'}=h_{N'}h_N\end{array}\right..

Ainsi, par hypothèse de récurrence, il existe une base (f_1,\dots,f_d) de V dans laquelle toutes les matrices vN sont triangulaires supérieures. Toujours par hypothèse de récurrence, il existe une base (f_{d+1},\dots,f_{n+1}) de H telle que les matrices hN soient triangulaires supérieures.

Si on pose \mathcal{B}' = (f_1,\dots,f_{n+1}) on a le résultat au rang n + 1.

La récurrence est donc établie et le lemme démontré.


Lemme 2 —  Si G est un sous-groupe connexe de GL_n(\mathbb{C}) alors son groupe dérivé \mathcal{D}(G) est connexe.

Preuve du lemme 2

Soit S l'ensemble des commutateurs et \Phi : (M,N)\in G\times G\mapsto MNM^{-1}N^{-1} \in S . G\times G est connexe et Φ est continue donc \Phi(G\times G) = S est connexe. Soit m \geq 1 et Sm l'ensemble des produits s_1\dots s_m avec s_i \in S. C'est l'image par l'application continue (g_1,\dots,g_m)\mapsto g_1\dots g_m de Sm qui est connexe car S l'est. Ainsi, Sm est connexe. Or, \mathcal{D}(G) = \{Id\}\cup\left(\cup_{m\geq 1}S_m\right), comme Id\in S_m pour tout m \geq 1, \mathcal{D}(G) est connexe.


Vient enfin la démonstration du théorème.

Démonstration du théorème

Montrons d'abord par récurrence sur n que s'il existe un sous-espace vectoriel propre V \subset \mathbb{C}^n, c'est-à-dire que V\neq\{0\} et V\neq\mathbb{C}^n, qui est G-stable alors, on a le résultat.


  • n = 1 : le résultat est vrai.
  • Supposons la propriété démontrée pour tout sous-groupe G connexe et résoluble de GL_k(\mathbb{C}) et ce, pour tout k\in\{1,\dots,n\}. Soit G un groupe connexe résoluble de GL_{n+1}(\mathbb{C}).

Soit V un sous-espace vectoriel propre de \mathbb{C}^{n+1} G-stable.

Notons W un supplémentaire de V dans \mathbb{C}^{n+1}. On a bien sûr \left\{\begin{array}{c}dim(V)<n+1\\dim(W)<n+1\end{array}\right.

Dans une base adaptée à la décomposition en somme directe, un élément M de G a pour forme : \begin{bmatrix} g_1 && u\\ 0 && g_2 \end{bmatrix}

De plus, si d est la dimension de V, les applications : \left\{ \begin{array}{l}\Phi_1 : M \in G \mapsto g_1 \in GL_d(\mathbb{C})\\ \Phi_2 : M \in G \mapsto g_2 \in GL_{n+1-d}(\mathbb{C})\end{array}\right.

sont continues en tant que projections et sont des morphismes de groupes. Or l'image d'un groupe résoluble par un morphisme de groupe est résoluble. L'image d'un connexe par une application continue étant connexe on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à V et W, à savoir qu'il existe une base commune de trigonalisation pour chaque sous espace et en concaténant les deux bases obtenues, on a le résultat pour n + 1.

Ceci achève la démonstration dans le cas où il existe des sous-espaces propres G-stable.


On va maintenant prouver que dans le cas où il n'existe pas de sous-espace propre G-stable, alors G est commutatif, ce qui grâce au lemme démontrera le résultat.

Supposons par l'absurde qu'il existe m > 1 tel que \left\{\begin{array}{l}\mathcal{D}^m(G) = \{Id\}\\\mathcal{D}^{m-1}(G) \neq \{Id\}\end{array}\right.

Soit H = \mathcal{D}^{m-1}(G). Par définition H est commutatif. Donc il existe une base de trigonalisation commune de H.

On va montrer qu'en fait l'ensemble H est diagonalisable. Notons V = \left\{ x\in\mathbb{C}^n \ / \ x\right. soit vecteur propre commun à tous les éléments de \left.H\right\}\cup\{0\}, c'est un sous-espace vectoriel de \mathbb{C}^{n}. On va montrer que V n'est pas réduit au vecteur nul et qu'il est G-stable. Le fait que V ne soit pas réduit à {0} est dû au fait que H soit trigonalisable (il existe un vecteur propre commun à tous les éléments de H) donc V\neq\{0\}.

Soit M \in G, v\in V et N\in H, on a : NMv = M(M − 1NM)v. Donc M^{-1}NM \in H (car H est distingué dans G) d'où, il existe \lambda \in \mathbb{C} tel que M − 1NMv = λv (car v est commun à tous les éléments de H).

Ainsi, NMv = λMv donc Mv\in V donc V est G-stable : par hypothèse V = \mathbb{C}^n.

Les éléments de H sont donc diagonalisable dans une base commune.

Montrons alors que H\subset \mathcal{Z}(G).

Fixons N \in H et observons l'application \Phi : M\in G\mapsto MNM^{-1}. \Phi(G)\subset H car H est distingué dans G.

Φ est continue donc Φ(G) est connexe.

De plus, MNM − 1 est diagonalisable car N l'est et a les mêmes valeurs propres que N. Φ(G) a donc un nombre fini d'éléments. Comme Φ(G) est connexe, il n'y en a qu'un d'où Φ(G) = {Φ(Id)} = {N}, ainsi H\subset \mathcal{Z}(G).

On montre alors que tous les éléments de H sont des homothéties c'est-à-dire que N = λNH. Soit N \in H et W un espace propre de N. Comme N commute avec tout élément de G, W est G-stable donc W = \mathbb{C}^n.

Or H = \mathcal{D}^{m-1}\subset \mathcal{D}(G) car m > 1 donc comme le déterminant d'un commutateur est 1 on a H \subset SL_n(\mathbb{C}) et donc pour tout N \in H \lambda_N^n = 1 : H est nécessairement fini.

De plus d'après le lemme 2 H est connexe donc H est réduit à un élément donc nécessairement H = {Id}, ce qui est contradictoire. G est donc commutatif, ce qui démontre le théorème.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Lie-Kolchin de Wikipédia en français (auteurs)

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